İrrasyonel üslü bir irrasyonel sayı rasyonel olabilir

Teorem : a ve b olarak öyle iki irrasyonel sayı var mıdır ki  bª  bir rasyonel sayı olsun ?

Evet vardır.

Örnekli Kanıt  : √10 ve log(4) irrasyonel sayılardır ve   √10 log(4) = 10log(2) = 2 olup rasyoneldir.

Kanıt 2 :

√2 ‘nin bir irrasyonel sayı olduğunu biliyoruz.

a =b= √2 olsun , eğer √2^√2( √2 üssü √2) bir rasyonel sayı ise zaten durumu karşılar.

Bu durumda  diyelim ki √2^√2 bir irrasyonel sayı, o halde b=√2^√2 alabiliriz. Böylece bª= (√2^√2)^√2 = √2^2 =2 olacaktır ve bu bir rasyonel sayıdır. Bu durumda teorem kanıtlanmış olur.

Not: √2 üssü √2 bir irrasyonel sayıdır. Bu kanıt (√2^√2)’nin rasyonel olduğunu göstermez. Bakınız ;

Gelfond–Schneider theoremi

If α and β are algebraic numbers with α0,1 and β irrational then α^β is a transcendental number.