Bölünebilme İle İlgili Henüz Çözülememiş Bazı Problemler

B1]  *Mükemmel Sayılar sonsuz çoklukta mı? (Perfect Numbers)

        S(n) = n ,  yani kendisi hariç pozitif tam bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayılara denir. (ya da tüm pozitif bölenleri kendisinin iki katı olan sayı , 1+2+3+6=6×2)

Örneğin : 6, 28, 496 … gibi , 6=1+2+3,   28= 1+2+4+7+14 

Açıklama : Bir mükemmel sayı çift ise onun 2p -1(2p – 1) formunda olması gerektiği ve 2p -1 nin asal olması gerektiği  gösterildi.  Ayrıca 2p -1 in asal ise 2p -1(2p – 1) in  bir mükemmel sayı olduğu da kanıtlarla biliniyor.

      *Bununla birlikte tek sayı olan bir mükemmel sayı olup olmadığı da çözülememiş problemlerden biridir. Carl Pomerance,  eğer bir tek sayı olan mükemmel sayı varsa en az 7 asal çarpanı olması gerektiğini göstermiştir.

B2]  2k dan başka Yaklaşık Mükemmel Sayılar Var mı? (almost perfect numbers)

      s(n)=n-1 olan sayılardır. Yani kendisi hariç pozitif bölenleri toplamı kendisinden bir küçük olan sayılardır. k >0 için 2k formunda olan tüm sayıların böyle bir özelliği vardır. Örneğin 24=16 için ,

s(16)= 1+2+4+8=15=16-1

*Çözülememiş soru şudur ki 2 nin kuvvetlerinden başka yaklaşık mükemmel olan bir sayı var mıdır?

    S(n)= n+1 olan sayılara ise sözde mükemmel (quasi perfect numbers) sayılar deniyor. Böyle bir sayı henüz bulunamadı olup olmadığı ise gösterilemedi ancak eğer varsa bir tek sayının kuvvetleri olması gerektiği gösterildi.

B3] Süper Mükemmel Sayılar ve Katlı Süper Mükemmel Sayılar (Super perfect Numbers)

      *Süper mükemmel sayılar arasında tek sayı olanı var mı? Mükemmel sayılarda da olduğu gibi henüz bilinmiyor.

      Açıklama :Hint matematikçi Suryanarayana ismini vermiştir ki ;Kısaca ,pozitif tam bölenlerinin toplamının pozitif tam bölenlerinin toplamı kendisinin iki katına eşit olan sayılara süper mükemmel sayılar denir. Fonksiyon olarak Q2(n)=Q(Q(n))=2n olarak gösterilir.

İlk yedi süper mükemmel sayı  : 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 sayılarıdır.

Örneğin Q(2)=1+2=3 ve Q(3)=1+3=4=2×2  Yani Q2(2)=4  , Q(4)=1+2+4=7,Q(7)=1+7=8=2×4, Q2(4)=8

Q(16)=1+2+4+8+16=31 ve Q(31)=1+31=32=2×16   Q2(16)=32

Suryanarayana ve Kanold göstermiştir ki çift süper mükemmel sayılar sadece 2p – 1 asal olmak şartıyla 2p-1sayılarıdır. ( mesela 2=21 ve 22-1=3 asal, 4=22 ve 23-1=7 asal …)

** Q m(n)=2n olan sayılara da katlı süper mükemmel sayılar denir. m≥3 için çift bir katlı mükemmel sayı olmadığı Bode tarafından gösterilmiştir.

Fakat bence soru şöyle daha güzel  sorulabilirdi  =>

**Q m(n)=mn olan katlı süper mükemmel sayılar var mıdır? Bilinmiyor.

=>Bu arada Q2(n)=2n-1 olan sayılara da yaklaşık süper mükemmel sayılar denir.Var mı bilinmiyor.

B4] Dokunulmaz Sayılar (Untouchable Numbers)

      Herhangi bir sayının tüm pozitif bölenlerinin toplamı olarak gösterilemeyen sayılara dokunulmaz sayılar denir.

     Erdös kanıtlamıştır ki dokunulmaz sayılar sonsuz çokluktadır. 1000’e kadar ki dokunulmaz sayılar ;

(Untouchable numbers less then 1000)

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 178, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, 668, 670, 714, 718, 726, 732, 738, 748, 750, 756, 766, 768, 782, 784, 792, 802, 804, 818, 836, 848, 852, 872, 892, 894, 896, 898, 902, 916, 926, 936, 964, 966, 976, 982, 996.

*5’in  tek sayı olan tek dokunulmaz sayı olduğu düşünülüyor fakat henüz kanıtı yok.

** Cevabı bilinmeyen diğer soru da dokunulmaz sayılar arasındaen fazla ne kadar uzun  ardışık çift sayı serisine rastlanabilir? Örneğin 288,290,292 –  322,324,326 – 892,894,896,898 gibi…

*Ardışık iki dokunulmaz sayı arasındaki fark en fazla ne kadar olabilir? Sayılar büyüdükçe farklar da büyür diyebilirsiniz ancak daha en başında 2,5,52 52-5=47 gibi fark varken , 1000 e kadar bundan büyük bir farka rastlanmıyor.

B5] Q(n)=Q(n+1) kuralına uyan sonsuz çoklukta sayı var mıdır?

      *Yani tüm pozitif bölenlerinin toplamı kendisinden sonraki sayının pozitif bölenlerinin toplamına eşit olan sayılardan sonsuz çoklukta var mıdır? Bu özellikte ,107 den küçük 113 sayı bilinmektedir.

Bu sayıların bir kaçı 14, 206, 957, 1334, 1364, 1634, 2685, 2974, 4364,…

Örnek : 14 için Q(14)=1+2+7+14=24=Q(15)=1+3+5+15

B6]  31=(25-1)/(2-1)=(53-1)/(5-1)

       *31 sayısı P herhangi bir asal olmak üzere (P r-1)/(P-1) formunda yukarıdaki gibi birden fazla yol ile gösterilebilen tek asal sayımıdır?

     P ‘ nin asal olma şartı olmasaydı şöyle bir çözüm olabilirdi mesela 8191=(213-1)/(2-1)=(903-1)/(90-1)

B7] Faktöriyel Toplamları(Sum Of Factorials)

      *Kurepa tanımlamıştır ki  !n=0! + 1! + 2! + ….(n-1)! , bu durumda her n>2 için  !n’ in n ile bölümünden kalan 0’dan farklımıdır? Bilgisayar  ile gösterilmiştir ki 3≤n≤1000 için tutuyor.

Örneğin : !5=0!+1!+2!+3!+4!=34 ve 34 ≡4 (mod5)

B8] Faktöriyellerin toplam farkı (Alternating Sums Of Factorials)

     An = n! – (n-1)! + (n-2)! -..+…-(-1)!   İse An sonsuz çoklukta asal üretir mi?

Örneğin :           A3= 3!-2!+1!=5  asal

                           A4=4!-3!+2!-1!=19  asal

                          A5=5!-4!+3!-2!+1!=101 asal

n = 3,4,5,6,7,8,10,15,19, 41, 59, 61, 105, 160… sayıları için asaldır.

n=9,11,12,13,14,16,17,18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28  için An bileşiktir. Mesela  A9=79×4139 , A 11=13×2816537, A12=29×15254711

B9] Smith Sayıları (Smith Numbers)

     Rakamlarının toplamı,asal çarpanlarının rakamlarının toplamına eşit olan sayılara denir. Bu sayılara ismini kardeşinin telefon numarasının özelliğini keşfeden Albert Wiansky vermiştir.

  4937775=3x5x5x65837 ve (4+9+3+7+7+7+5)= (3+5+5+6+5+8+3+7)=42

  Ve 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121 …

         Kaynak : Richard K. Guy -1994 tarihli Unsolved Problems in Number Theory . Daha fazla çözülememiş problemi bu kitapta bulabilirsiniz. Problemlerden biri ilginizi çekerse 1994 ‘den beri  hala çözülememiş olup olmadığını, gelişmeleri  kontrol ediniz.            

     ..Devam Edecektir . Gelecek Yazı : Diophantine Denklemleri İle İlgili Çözülememiş Problemler

Reklamlar

Asal Sayılar İle İlgili Henüz Çözülememiş Problemler

Sayılar Teorisinde ASAL  SAYILAR  İle İlgili  Henüz Çözülememiş Problemler

A1]  a2 + 1 formunda sonsuz çoklukta asal sayı var mıdır?

Problemle ilgili geçmişteki gelişmeler : 

  Matematikçi Iwaniec  n2 + 1 en fazla iki asal sayının toplamı olacak şekilde sonsuz çoklukta n sayıları olduğunu gösterdi.

Ayrıca Sierpinski şunu gösterdi ki her k sayısı için öyle bir b sayısı vardır ki a2 + b formunda k dan daha fazla asal sayı vardır. Fakat a2 + 1 formunda sonsuz asal olup olmadığı hala kanıtlanamamıştır.

A2]  n! ± 1 formunda sonsuz çoklukta asal sayı var mıdır ?

A3]  2p – 1 formunda sonsuz sayıda asal var mıdır?

  Açıklama : Bu sayılara mersenne sayıları , asal olanlarına ise mersenne asalları denir. Bulunan en büyük asal sayılar genellikle mersenne asallarıdır.

A4]  2f + 1 formunda sonsuz sayıda asal var mıdır?

  Açıklama : Burada f  , 2’nin bir kuvvetidir.  Bu sayıların asal olması için  f’ nin de  (0 hariç) 2’ nin bir kuvveti olması gerekir. Aksi halde çarpanlarına ayrılabilir ve bu bir bileşik sayı olur. Bu sayılara fermat sayıları , asal olanlarına ise fermat asalları denir.  f =0, 1, 2, 4, 8, 16 için 2f + 1 asal dır. Bunlardan başka fermat asalı var mı bilinmiyor. Fermat asallarının sonlu olduğu düşünülüyor ancak henüz kanıtlanamadı. Bu arada f = 2k       için  5 ≤ k ≤ 21 değerlerinde fermat sayılarının asal olmadığı bilgisayar programlarıyla ve bireysel işlemlerle vs. gösterildi.

Fermat asallarının sonlu olduğu düşünülüyor.

Aynı şekilde f, 2’nin bir kuvveti olmak üzere 2f + 1 formunda sonsuz çoklukta bileşik sayı olup olmadığı da henüz kanıtlanmadı.

A5]  Fibonacci sayıları arasında sonsuz çoklukta asal var mıdır?

Açıklama : 1 den itibaren kendinden önceki iki sayının toplamı olarak ifade edilen bir diziye fibonacci dizisi denir. Bu dizideki sayılara fibonacci sayıları denir. Fibonacci dizisi ;

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,… f n, fn1,  fn+ fn1   şeklindedir.

A6]  P1 ve P2 asal ve P2 =P1+2 olan sayılara ikiz asal sayılar denir. İkiz asallar sonsuz çoklukta mıdır? 

      Örneğin : 5-7, 11-13, 17-19, 29-31, 41-43, 59-61 gibi …

Gelişmeler :

2005 yılında Cem Yıldırım, goldston ve Pintz ile birlikte kanıtladılar ki, herhangi bir   e pozitif tamsayısı için öyle p ve p’ asalları vardır ki p’ – p

\liminf_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=0   Pn , n’inci asal olmak üzere.

  Ayrıca  Elliot -Halberstam varsayımının doğru olduğunu varsayarak aralarındaki fark en fazla 16 olan sonsuz çoklukta asal sayı çiftleri olduğunu göstermişlerdir. (Şartlı kanıt)

A7]  Ardışık iki tam kare  a 2  ile ( a+1)2 arasında her zaman bir asal var mıdır?

        (Legendre varsayımı)

Açıklama :  Bertrand postulatına göre kanıtlanmıştır ki  n ile 2n arasında her zaman bir asal sayı vardır. Örneğin 2 ile 4 arasında 3 asalı, 4 ile 8 arasında 5 ve 7 asalları gibi. Fakat ardışık iki tamkare arasında her zaman asal olup olmadığı kanıtlanamamıştır. Bertrand Postulatının bir kanıtı “teoremler ve kanıtlar” kısmındadır.