BÜYÜK BİR ASAL SAYIYI NASIL KEŞFEDEBİLİRSİNİZ…

images (1).jpeg

Birçok bilimsel araştırmaya destek sağlayan Boinc uygulamasını yükledikten sonra primegrid projesine katılarak bilgisayarınızla asal sayı keşfedebilirsiniz. Öncelikle bu proje uluslararası bir proje olup gelişmiş ülkelerden oldukça önemli bir katılım olmaktadır. Türkiye’den katılım ne yazık ki çok düşüktür.

Primegrid projesinde genelleştirilmiş Fermat (a^2^n+1 formundaki) , Sophie german (p ve 2p+1 ikisi birden asal olan), Cullen vb.  çeşitli türden asal sayıların araştırması yapılmaktadır. Bu asal türlerinden birini bilgisayarınız  proje ile test sonucu asal olduğunu keşfettiğinde asal sayı sizin adınıza kayıt edilmektedir. Bulduğunuz asal sayı büyük asal sayı görevlerini,alt projelerini çalıştırıyorsanız ilk 5 bin asal sayı listesine de girecektir. Asal sayıları seviyorsanız ve bu konu ile ilgileniyorsanız aşağıdaki adımları izleyebilirsiniz.

  1.  www.primegrid.com  sayfasına girerek sol üst köşede 2. maddede dowloand yazan yeri tıklayarak boinc +virtual box uygulamasını indirin
  2. Uygulamayı kurun. Çıkan sekmelerin hepsinde next’e tıklayın ,I accept seçeneğini seçip devam ederek en son finish seçeneğine tıklayarak kurun. Program bilgisayarınızda çok az yer kaplar ve Türkçe arayüz ile kurulur.  100mb.
  3. Karşınıza proje seçin diye bir seçenek çıkacaktır. Bu seçenek çıkmaz ise araçlar sekmesinden proje ekleye tıklayın.
  4. Bu kısımda primegrid projesini seçip ileri tıklayın.
  5. Hesap bilgileri kısmı çıkacak. Burada hayır yeni kullanıcıyımı seçin. Hesap için kullanmak istediğiniz  eposta adresinizi girin ve şifrenizi belirleyerek ilerleyin.Proje eklendi yazısı çıkınca son’a tıklayın.
  6. Şimdi otomatik olarak sizi proje web sayfasına bağlayacak. Açılan pencerede isim ülke ve posta kodu yazacaktır. Burada Ülkeyi seçin Mutlaka. İsim olarak da kayıtlara geçmesini istediğiniz istediğiniz bir ismi seçin kendi adınızı ya da rumuzunuzu girebilirsiniz. Sonra karışına arama kriterleri çıkacaktır. Burada Ülkeyi seçtikten sonra takım ara tuşuna basın. Çıkan sonuçlarda Türk Asal Timi’ni tıklayın. Açılan pencerede takım sayfasında takıma katıl yazan yere tıklayıp takıma katılın. Hepsi bu kadar!
  7. Şimdi hesaplama tercihlerinden projenin bilgisayarınızın gücünü ne oranda nasıl kullanacağını kendiniz değiştirebilirsiniz. Burada cpu gücünü ve zamanını  kisini birden en fazla %75 ayarlamanızı öneririm.Cpu zamanı 75 ayarlarsanız 3sn çalışıp 1 sn duracak ve daha az ısınacaktır. Ekran kartını da kullanacaksanız cpu gücünü ise %75 ayarlayın. Tabi ki istediğinizi seçebilirsiniz. Bilgisayar kullanımda iken projenin durmasını isterseniz oradaki ilgili seçeneği seçin. (CPU işlemci, GPU ise ekran kartı kullanımını temsil eder. )
  8. Primegrid tercihleri yazan yerden hangi asal sayı projelerine katılmak istediğinizi seçebilirsiniz. Bu çok önemli bir kısım bu konuya biraz değinebilirim.

 

8.1. Primegrid Tercihleri nedir, nasıl kullanılmalıdır?

Primegrid tercihlerinde yaptığınız seçimlerle bilgisayarınızın hangi primegrid projeleri için çalışacağını belirlersiniz. Bigisayarınızın gücüne göre proje seçmeniz asal keşfetme şansı açısından faydanıza olacaktır. Fakat bu biraz da şans tabi ki. Tercihleri düzenleye tıkladığınızda hangi alt projenin ortalama ne kadar sürdüğünü o projenin altında yazan average cpu time: ve average gpu time sürelerine bakarak görebilirsiniz. Hem gpu hem cpu yazan projelerde gpu da çok daha hızlı olduğunu göreceksiniz. Bu tür projelerde gpu kullanımını seçmeniz daha iyi olur. yandaki kutucuklardan cpu ve gpu  seçebilirsiniz. Ekran kartınız Nvidia (gtx vb) ise onu, amd ise ati/amd kutusunu seçmeniz gerekir. Hem cpu ve gpu ya da sadece birini seçebilirsiniz. Aynı anda çok fazla projede seçim yaparsanız her biri yavaşlayacaktır. Az seçim yaparsanız seçtikleriniz daha hızlı çalışacaktır. Görevler daha hızlı tamamlanacaktır. Şimdi hangi projelerin ne olduğuna gelelim. sırayla.

*AP27/ Aritmetik asal serilerini keşfetme projesidir

AP27 projesinin amacı ardarda 27 asal veren formüle uyan asal sayı dizisini keşfetmektir. AP26 daha önce keşfedilmiştir. Dolayısı ile bilinen en uzun aritmetik asal serisi 26 asal vermektedir. (Her türden uzun seri olduğu matematiksel olarak kanıtlanmıştır.)  Eğer AP27 yi sizin bilgisayarınız bulursa tarihe geçeceksiniz. AP27 projesinde hem cpu hem gpu kullanılabilir.

Tüm alt projeleri tek tek anlatmak yerine kısaca değineceğim.

*Ekran kartı  /GPU kullanılarak çalıştırılması tavsiye edilen projeler :

AP27, PPS Sieve, Generalized fermat prime search F:15,16,17,18,19,20,21,22 hepsi .

*Diğerlerinde zaten sadece CPU çalışabilir.

*En hızlı asal sayı bulabileceğiniz projeler : Sophie German Search cpu ile ve GFN 15 gpu ile. Sadece her ikisini aynı anda çalıştırarak şansınızı artırabilirsiniz. Fakat bu asallardan SGS Asalları şimdilik 382 bin basamaklı olup en büyük 5 bin asal listesine giremez. GFN 15 asalları da 260 bin basamaklıdır. Bunlar da giremez. Fakat unutmayın bu asalalrı da yakalamak kolay değildir. Diğer büyük asalları yakalamaktan daha kolay olmakla birlikte bilgisayarınızın performansına göre şansınız artar.

  • en büyük 5 bin asal listesine girecek  asalları en hızlı bulmak için gfn16 (gpu)  ile psse (cpu ile) projelerini aynı anda çalıştırmalısınız. Amacınız bu ise en büyük şans bu şekilde olur. Bu asalların basamak sayısı  yaklaşık 490 bin olup kolaylıkla  Chris Caldwell’in top 5K asal listesine girer. Ve listeye bir kere girdikten sonra daha  daima o listede adınız kalır. Liste bu adreste yer alır primes.utm.edu .
  • *GFN projelerindeki asallar a^2^n+1 formundadır. gfn nin yanındaki sayı n sayısını temsil eder. mesela gfn15 a^32768 +1 demektir. 32768=2^15 Dolayısıyla n büyüdükçe asal sayı da büyür ve yakalama olasılığı da küçülür. (n/logn asal sayı teoremine bağlı olarak. n burada n inci asal )
  • *Mega asallar ! :  1 milyon basamaklı ve daha büyük olan asal sayılara mega asal denir. Mega asal keşfi önemli bir keşif. Bu tür asalları en hızlı keşfetmek için seçilecek iki proje ise GFN17 mega (gpu ile) ve PPS Mega (cpu) projeleridir. Bu iki proje özellikle mega asal keşfi için tasarlanmıştır. ( GFN17 Low u seçmeyin yanlışlıkla )
  • performans ayarları : bigisayarıma sağ tıklayarak özelliklerden en iyi performansa göre ayarlayı seçmelisiniz. Primegrid tercihlerinde kaynak paylaşımı 100 olarak kalmalı.
  • hem cpu hem gpu kullanacaksanız hesap tercihlerinde use nvidia ya da ati amd  gpu ve use cpu seçmeyi unutmayın.
  • asal raporlama ismi: asal sayı keşfettiğinizde asal sayı hangi isimle raporlansın istiyorsanız tercihlerde reportin kısmına onu yazın .ad soyad rumuz vs. asal bulunduğunda hesap  kısmınızda ilgili proje altında görülecektir. Mail gelmesini istiyorsanız tercihlerde seçin.
  • Son olarak : Bu sabır isteyen birşeydir. Zaman alabilir bugün ya da bir yıl sonra keşfedebilirsiniz. Mesele sadece asal keşfi değil ;
  • Armalar : Keşifleriniz sahip olduğu özelliğe göre size arma verilecektir. Fermat faktörü keşfederseniz F arması, sophie german asalı keşfederseniz SG arması, ikiz asal keşfederseniz TP arması, Mega asal keşfederseniz M arması kazanırsınız!
  • Bu bir istek merak ilgi  meselesi. Projede kalıcı olunması artı bir değerdir. Türkiye’nin sıralamada yükselmesine de katkıda bulunacaksınız.  Hesap ayarlarınızda Ülke olarak Türkiye ve takım olarak Türk Asal Timi takımını seçmeyi unutmayın. Arkaplanda uygulama çalışırken ve ekranı ışığı kapalı iken Bilgisayarınızı günde birkaç saat ( 6-12s ) açık bırakmak elektrik faturasını pek etkilemeyecektir.

 

                                                                                                                           Metin Sarıyar

 

Reklamlar

Ya Matematik Evrenin Kendisi İse?

Bilim insanları evrenin aslında ne olduğunu, kökenini, onu neyin nasıl yarattığını  araştırırken gerçek gözümüzün önünde olabilir; Matematik!

Birçok kişi matematiği anlamayabilir veya sevmeyebilir. Ayrıca birçok kişi, bazı matematikçiler bile matematiği insanların yarattığını düşünebilir fakat aslında matematik insanlar tarafından yaratılmamıştır keşfedilmiştir ve keşfedilmektedir. İnsanlar sadece orada olanı keşfetmişlerdir tabi insanlar bunu görebilirse. Keşfedilmemiş olsaydı asal sayılar gerçek olmayacak mıydı? Asal sayılar sayıların arasında bulunur. Sayılar ise her yerdedir. Sayı zaten bir birim meselesidir miktar çokluk belirtir. Aynı şekilde diğer sayı türleri de. Bir birimi ele alır ve ona 1 diyebilirsiniz. Aynı birimi eklediğinizde 2’yi bulursunuz.  Hangi iki birimi çarparsam 2’yi bulabilirim diye düşününce geçmişte karekök 2 keşfedildi. Sayılar her yerdedir ve bildiğimiz matematik sayıların arasındaki ilişkilerden elde edilen teoremlerle elde edilmiştir. Tabi ki insan beyni bunu geliştirdi fakat insanlar sadece var olanı keşfetti. İnsan beyni keşfetti, ve sonuçta insan beyni doğadan gelen maddenin organizasyonu ve mantıksal bütünlük, sistematik oluşturması sonucu oluşmuş evrimleşmiştir. Yani matematiği yine doğaya ait olan doğanın bir parçası keşfetmiştir. Her şey bir sayı ile başladı ve o şekilde devam edecek.

Bugün evrenin nasıl başladığı, nasıl devam edeceği, ne tür evrenler olduğu ile ilgili teoriler bulunmaktadır. Matematik aslında bir cevaba sahiptir ve gün geçtikçe daha fazla fizikçi evrene matematiğin gözünden bakmaya başlamış, evreni anlayabilmemiz için matematiği anlamamız gerektiğini düşünmeye başlamıştır. ( Örn. Fizikçi Max Tegmark evrenin matematiksel bir obje olduğuna dair bir kitap yazmıştır.) Çünkü evrenin kodlaması matematikseldir!

Evren fizik kuralları yerine matematiksel kurallarla çalışıyor olabilir. Bu bazen fizikçilerin neden teorilerinde hata yaptığını, teorilerinin daha sonra başka bir fizikçi tarafından daha iyi bir teori ile ( newton mekaniği ve görelilik kuramı gibi) alt edildiğini açıklamaktadır. Newton’un teorisi atom altı dünyaya ve geniş uzaya uygulandığında geçersiz kalmış, uygulanamamıştır. Makro evren için çalışır gibi görünen teorik formül mikro evrende işlememektedir. Bu aslında ağır nesneleri ölçmeye yarayan kantar ile küçük bir böceği tartmaya çalışmak gibidir. Tabi ki işe yaramayacaktır. Hata payı 10 kg olan bir tartı ile 1 gr olan bir nesneyi tartamazsınız. Yemek kaşığı ile golf oynayamazsınız. Simetri çok önemlidir ve evrenin her tarafında matematiksel bir simetri bulunmaktadır. Samanyolu galaksisinin şekli ile meydana gelen bazı kasırgaların meteorolojik görüntülerinin şekli arasında benzerlik olması bu sebeptendir. Simetri her yerdedir fakat biz sadece onun nasıl çalıştığını, hangi mantığa göre çalıştığını bilmemekteyiz. Bu tabi ki çok zor. Bilim insanları evrenin kaotik olduğunu söylemekte ve düşünmektedir. Fakat aslında kaotik gibi görünen bir düzene sahip olabilir. Eğer karmaşıklığın kendi içinde bir düzeni varsa bu mümkün. Nasıl çalıştığı anlaşılmayan bir makinenin karmaşık olduğunu düşünmek normaldir. Ben şahsen bunun temel nedeninin de yine sayılarla, asal sayılarla ilişkili olduğunu düşünmekteyim. Çünkü sayılar eğer evrenin temeli ise, asal sayılar da sayıların temeli ise, asal sayılar zaten düzenini bilmediğimiz, oldukça anlaşılması zor bir sayı türü olduğundan evren de öyle görünüyor olabilir. Asal sayıların bilinen bir formülü bulunamadı, bir sayıya kadar kaç asal olduğu, n’ inci asalı veren bir formül yoktur.  İşte biz de bu nedenle evreni anlayamamaktayız. Asal sayıları bir gün anlasak bile evrenin düzenindeki işleyiş şekli de ayrı bir sorun teşkil edecektir! Fizikçiler evrenle ilgili hatalar yapmaktadır çünkü yaklaşımlar matematiksel olmayıp (her ne kadar matematik formülleri kullanılsa da) yani matematiksel bir evren yaklaşımı olmadığından ve matematik hatayı affetmediğinden hatalar olabilmektedir. Burada evreni anlamada multidisipliner bir yaklaşım zorunlu kalmakta. Belki de nihayet buna erişildi string teorisi ile. Witten’ın String teorisine göre tüm maddeler görülemeyecek kadar çok küçük string denen ipliksi titreşimlerden meydana gelmektedir. Yani  sanaldır. Madde olduğu sanılan şey titreşimlerin meydana getirdiği katılık vb hallerdir.  Bu çok küçük titreşimler bir ihtimal sayıları temsil ediyor olabilir işte! İşte bu noktada artık evreni anlamaya çalışmak için fizikçiler matematiğe dönmek zorunda kalabilir matematiksel düşünmek zorunda kalabilirler. Fakat matematik hata kabul etmez ve en ıfak bir gözle görülemeyen hata internette dolaşan bazı matematik oyunlarında olduğu gibi 1=2 gibi ( tamamen temel  basit matematik kurallarını bilmeyenlerin göremediği hatalardan kaynaklıdır.)  sonuçların oluşmasına neden olabilir.

Evrendeki maddenin tamamı matematiksel bir obje olabilir. Sadece bu evrenin kendi kendine nasıl oluştuğunu açıklayabilir. Big bang açıklamakta yetersiz kalmaktadır. Evrenin sonsuzdan gelip sonsuza giden bir sistem olduğuna dair düşünceyi ancak bu şekilde açıklayabiliriz. Evren matematiksel bir yapı ise matematiğin kendisidir. Matematiğin var olması için ise sayıların varlığı yeterlidir. Sayıların var olması için hiçbir sayının olmaması yeterlidir. Nasıl mı? Hiç bir sayının olmadığı yerde sıfır “0” vardır . Bu ise diğer tüm sayıları oluşturacak bir yapıdır. Çünkü tüm bu yapı birbirinin neden ve sonucudur. Negatif ve pozitif sayıların olabilmesi için sıfırın varlığı zorunludur. Gerçeklik görecelidir. Bizim bildiğimiz maddenin gerçek olduğunu düşünmemizin nedeni etkileşim içinde olmamız hislerimizle hissetmemizdir. Birbiriyle etkileşimi olan durumlara göre tüm durumlar gerçek olacaktır. Sorun gerçeklikle ilgili değil etkileşimlerle, bağlantılarla ilgilidir. Yani zaman gibi gerçeklikte aslında görecelidir. Bir sistemde sistemin elemanı olan tüm nesnelere göre her biri gerçek olacaktır. Bu sistemin ait olduğu kuralların dışındaki bir evrene göre ise gerçek gibi görünmeyecektir. Bir tanrı varsa o bir matematikçi değildir, o  matematiğin kendisidir. Yani evren kendi kendisini yaratmıştır. Evrenin varlığı ve yokluğu birbirinin sonucudur.

insanların gerçek düşmanı, zekanın ve yaratıcılığın gerçek düşmanı aslında inançtır. Bu dinle ilgili değildir sadece onu da kapsayan daha geniş bir bakıştır. Salt inanç herhangi bir konuda bir şeye karşı duyulan inançtır. Bir konuda bir şeye inanmaya başladığınız andan itibaren artık yaratıcılık süreci bitmiştir. Bu bir tanrı da olabilir bilimsel teori de olabilir. Bir teoriye inandığınızda artık daha iyisini bulma süreci bitmiştir. İnanç bilimselliği yok eder. İnanç gerçeklerle yüzleşmek ve bilimsel sorumlululuk hissetmekten kaçmak ve korkmaktır.

What If  Math is The Universe Itself ?

While scientists have been searching the sources of universe and what created it, the answer may be in front of eyes. Math!

Many people may not understand and like it. And many people even mathematicians may think that math is found and developed by human beings, the truth is different. Mathematicians haven’t created math, they discovered it ! They discovered just what has already been in there if someone is able to see it and reach ! Wouldn’t prime numbers be real if it wasn’t discovered? The numbers are everywhere if you want to see. And all the math we know is reached by the relations between  numbers . At first there were just numbers to be used for people to count and trade. All of the math done after that… Of course human mind improved it and wrote down the theories and made it seem but this is a discovery . Every time when mathematicians couldn’t make any improvements about a problem a new mathematician arrived with a new technique and reached the solution to improve math. After every improvements always there were born harder questions to answer to show the reality that the entire math is more complex than thought. Everything started with numbers and  the remaining story is to go on with it…

Today there are many theories about how the universe started and if there are another universes, how will it end and what kind of universes are there. Math has the answer actually and every passing day more physicians started to agree with the idea that actually to be able to understand the universe we have to understand the math. Because the coding of the universe is mathematical!

Universe isn’t ruling with physics rules, it does it with math rules ! That’s why physicians sometimes wrong with their theories I mean the theories which after were defeated by another better theory like Newtonian mechanic and relativity. Newton’s theory was true until it is applied to more sensitive areas like micro universe. it is like trying to  weigh an insect with on a weighbridge instead of precision scale. You can not play golf with spoon. Symmetry is important. Universe has the  mathematical symmetries in every part of it. That is why shape of the milky way  may be  similar like crab shell. Symmetry is everywhere but we can’t understand the logic how it works. And it is of course not that easy. Universe is ruling with math rules that why physicians sometimes make mistake. Because math rules  are certain and it doesn’t accept a little mistake. Universe seems chaotic and we can’t understand the complexness of it because we can not anyway understand  the whole math  while there are infinite things to discover in math.  Our approaches and findings about universe is like finding “next to” solutions to a mathematical equation. And when we accept the theory true and apply it on other theories and apply and apply again the mistakes grow and grow and finally we reach bad results that we hadn’t hoped to see which may not be approved by astronomic observations.

There may be  an answer to what created the universe : the math itself! That is not a joke. Math is the source code  and universe is based on it while the things we call matter may be another form of math like a mathematical object which had evolution automatically with math rules. Everything may be somehow a mathematical object under math rules. Only this can explain where did universe came from, and how created. Because math doesn’t need to be created by god. it can create itself. How? With the existence of zero “0” . This existence is equal to nonexistence while other numbers also  has to exist. And numbers will create all of the relative connections and all of the rules. After math’s existence it created the matter. How? You can ask that how an imaginary thing create the matter. The answer is “the matter is already imaginary!” .  Our feels ( eyes and touch) don’t make it real, it just feel the matter as if it is real. it is like a connection between two things. the number “1” may think that the number “2” is real and it is a matter! Because they have a connection and relation to each other while we have connection to matter. That is why we think that the matter is real. This is a wrong approach. The problem is not about reality. The problem is about relations and connections! This means that the reality is relative! in a system and according to all things in this system, all the things will seem like real matters, it is not important what kind of matters they are. in their world they are real.       İf there is a god,  it is not a mathematician, it is math itself…

 

Metin Sarıyar  

 

Not: Burada yazılanlar bir düşüncedir. Kanıtlanmamış hiçbir şey gerçek kabul edilmemelidir.

DÜZGÜN 17’GEN ÇİZİMİ

C.F.Gauss göstermiştir ki sadece cetvel ve pergel kullanarak düzgün bir n’genin çizilebilmesi için gerek ve yeter koşul   p = 2^2^a + 1 şeklinde bir asal  olmak üzere n sayısının    n= (2^k) .p1.p2….pi  olarak yazılabilmesidir. Burada p1,p2 birbirinden farklı fermat asalları olduğuna dikkat edelim. Bu durumda 3,4,5, 6,8, 10, 12, 15, 16,17, 20 ……257!    (2^8 + 1) genler çizilebiliyor. Ancak 7, 9, 11, 13, 14, 18, 21, 22,23.. genler çizilemiyor. Çünkü 3=2.1 + 1, 4=2.2, 5 = 2.2 + 1 , 6=3.2 (3’geni ikiye katlamak), 8= 4.2 (kareyi ikiye katlamak) , 10= 5.2 (5’geni ikiye katlamak), 12= 6.2 i, 15=( 3×5 üçgen ve beşgeni çizerek açı farkından faydalanarak çizmek)  ancak 7  2^a + 1 şeklinde yazılamayan bir asal olduğundan çizilememektedir. 9 ise 3 gen çizilebildiği halde, koşula uymadığından çizilememektedir. Aynı nedenden 25 gen de çizilemez. herhangi bir sayının çizilemeyen bu çokgenlerin katları da çizilemez. 27,36 gen vb…

Bilinen en büyük fermat asalı  65537 olduğundan teorik olarak cetvel ve pergel ile çizilebilecek en büyük asal sayı kenarlı düzgün çokgen de şimdilik 65537’gendir. Bu çizimi yapmak için özel bir arazi ve özel inşa edilmiş yeterince büyük pergel makinası gereklidir. Bir kenarı 1cm uzunluğunda olan düzgün bir 65537’genin yarıçapı yaklaşık en az 104m’dir ve en az 34158m2 alan kaplar.

Bir kenar yay uzunluğu 1cm olan düzgün bir 257’genin yarıçapı  en az 40 cm olur. Fakat bu çizimde uygulamada çok hata çıkacaktır çünkü çok fazla yay çizilecek ve hata birikimi fazla olacaktır. Bu tür çizimlerde her yay çiziminde hata bir sonraki yay çizimine aktarılır ve nihayetinde hata büyük çıkar. Hatanın görünürlüğünü azaltmak için daha büyük bir 257’gen çizmek gerekir. Bir kenar yayı 10cm olursa yarıçapı en az 409cm olur. Bu durumda rahat bir çizim için en azından 10m’lik bir pergel gerekir. Bu yapılamayacak birşey değil. Şimdi aşağıdaki çizimde dikkatli bakılmazsa  hata görünürde pek fark edilmiyor. Tabi ki daha kaliteli bir pergel ve dikkatli çizim ve çok keskin bir uçla hata payı en aza indirilebilir.

Düzgün 17’gen çizimi

 Siz de çizebilirsiniz…

1 (1)

1 (2)

1 (3)

Uygulamada pergel kullanımından kaynaklanan ufak hata payı olabilir.

çizim yöntemi- kaynak : https://www.uwgb.edu/dutchs/PSEUDOSC/17-gon.HTM

İrrasyonel üslü bir irrasyonel sayı rasyonel olabilir

Teorem : a ve b olarak öyle iki irrasyonel sayı var mıdır ki  bª  bir rasyonel sayı olsun ?

Evet vardır.

Örnekli Kanıt  : √10 ve log(4) irrasyonel sayılardır ve   √10 log(4) = 10log(2) = 2 olup rasyoneldir.

Kanıt 2 :

√2 ‘nin bir irrasyonel sayı olduğunu biliyoruz.

a =b= √2 olsun , eğer √2^√2( √2 üssü √2) bir rasyonel sayı ise zaten durumu karşılar.

Bu durumda  diyelim ki √2^√2 bir irrasyonel sayı, o halde b=√2^√2 alabiliriz. Böylece bª= (√2^√2)^√2 = √2^2 =2 olacaktır ve bu bir rasyonel sayıdır. Bu durumda teorem kanıtlanmış olur.

Not: √2 üssü √2 bir irrasyonel sayıdır. Bu kanıt (√2^√2)’nin rasyonel olduğunu göstermez. Bakınız ;

Gelfond–Schneider theoremi

If α and β are algebraic numbers with α0,1 and β irrational then α^β is a transcendental number.

Polyá Sanısı ve Matematiğin Keskin Yüzü

İnsanların sürekli genellemeler yaptığı,mesela bir iddiaya dönük çok sayıda örnek varsa ona inanıldığı sıradan hayatın aksine matematikte böyle bir durum söz konusu olamaz. Matematikte bir teori için iddia edileni destekleyen bir sürü örnek varsa ve aksini destekleyen hiç örnek bulunamamışsa bile matematiksel bir kanıt bulunmadığı sürece hipotez yanlış ve aksi doğru olabilir. İşte Polya sanısı da buna çok güzel bir örnektir. Matematikte inanç yoktur.Kesinlik vardır ve bu kesinliğin sembolü de kanıttır. Teorik matematikçiler bir teorinin kanıtını isterler, onlar için kanıtı olmayan birşeyi iddia etmenin çok da anlamı yoktur. Matematikçiler kanıtlara hayrandırlar çünkü gerçek orada yatar. Peki ne idi bu Polya varsayımı?

Macar matematikçi George Polyà 1919 yılında bir iddiada bulundu. Bu iddiaya göre 1’den büyük herhangi bir n tamsayısı için bu sayıya kadar olan pozitif tamsayıların en az yarısının asal çarpanlarının faktörleri toplamı tek sayıdır. Yani mesela 24 sayısını ele alalım . 24 =3×2^3 ve  çarpanların kuvvet toplamı 3+1 =4 yani çift sayıda (asal faktörlerin kuvvetleri toplamı) . 30 = 2x3x5 ve 3 tane çarpanı var. n=10 için 10 sayısına kadar 5 tane sayının ( 2,3,5,7,8) faktörlerinin toplamı tek sayıdır .100’e kadar 51 tane sayının , 1000’e kadar 507 sayının asal faktör toolamı tek sayıdır.  Bu iddiaya göre hangi sayıyı alırsanız alın o sayıya kadar olan sayıların her birinin asal çarpanlarının faktör toplamı çoğunlukla tek sayıdır. Bir sürü matematikçi aksi için örnek bulmaya çalıştı. Çok büyük sayılara kadar Polya varsayımı doğru görünüyordu. Bilgisayar programları kullanılarak yapılan hesaplarda 900 milyonlu sayılara kadar iddia doğru görünüyordu. Ta ki 1958 yılında C.Brian Haselgrove aksini keşfeden kadar. Haselgrove gösterdi ki aksini doğrulayan bir örnek var. 1.845×10^361 (10 un 361 dereceden kuvveti) sayısı civarında iddianın doğru olmadığını kanıtladı. Başka bir aksi örnek 1960 yılında bulundu. n=906150257 sayısı için varsayım geçersizdi.

Bu matematiğin keskin yüzüdür. Çok büyük sayılara kadar bir iddia gerçek gibi görünürken ve birçok kişi buna inanmaya başlarken birden aksi kanıtlanıverir. Fermat asallarının sonlu sayıda olduğu düşüncesi de belki doğru değildir. Kanıtı henüz yok. Fermat asalları 2^n + 1 formunda olan asallara denir. Bilinen fermat asalları 2+1=3, 4+1=5, 16+1=17, 256+1=257 ve bilinen son Fermat asalı 2^16 +1 =65537 ‘dir. Bundan başka var mı bilinmiyor. Çok büyük sayılara kadar günümüzün gelişmiş bilgisayarları ile yapılan aramalarda başka bir Fermat asalına rastlanmadı. Matematikçilerin çoğu Fermat asallarının sonlu sayıda olduğuna inanıyor. Bunun aksini savunan az sayıda matematikçi de var. Sayıların sonsuzluğu insan hayal gücünün ötesinde. Asal sayıların da sonsuz çoklukta olduğu biliniyor. Söz konusu sonsuzluk olduğu sürece çok çok büyük bir sayıdan sonra Fermat asallarının sayısında hızlı bir artış başlıyor da olabilir. Burada önemli olan başka bir sayı var mı yok mu ‘dan öte Fermat asallarının sonlu ya da sonsuz olduğuna dair bir kanıtı elde etmektir. Sayıyı keşfeden sadece sayının keşifçisi olarak kalır. Bu zaten günümüzde gelişmiş bilgisayrların aldığı ünvanlardır. Ünvanın sahibi de o programın yazılımcısı ve bilgisayarın kullanıcısı oluyor. İnsan zekası nereye gidecek bilemeyiz ancak görünen o ki insan zekası birşeyleri keşfetmek yerine birşeyleri keşfedecek, büyük sorulara çözüm bulacak, çözülememiş matematik problemlerini çözecek yapay zekaları oluşturma yönünde değişmeye başladı. Belki de çok yakında bir gün henüz çözülememiş bir matematik problemini yapay bir zeka kanıtlayacak. Bu zaten günümüzde basit ölçekte yaşanıyor ancak günümüzde yaşanan büyük hesaplamaları elde etmeye dönük.Hesaplama yapmak bir zeka değil. Burada bahsedilen zekasını durmadan artıran kendi kendisini sınırsızca geliştiren, ve insan gibi hatta daha ileri analitik düşünebilecek ve olabilecek en kısa matematiksel kanıtları elde edebilecek bir yapay zeka (artificial intelligence AI)

M∈tin ∫arıλar

Published in: on Kasım 14, 2016 at 6:57 pm  Yorum Yapın  
Tags: , ,

Simetri Kırılması ve Evrenin Başlangıcı

Spontaneous_symmetry_breaking_(explanatory_diagram)

Evrenin büyük patlama sonucu milyarlarca yıl önce gerçekleştiği biliniyordu. Çünkü bütün kanıtlar onu gösteriyordu. Yapılan bütün gözlemler ve deneyler sadece tekrar tekrar kanıtladı. Fakat bilinmeyen, açıklanamayan sorular vardı. Büyük patlamaya sebep olan neydi? Madde nasıl kütle kazanıyordu?  Kütlenin kaynağı ne idi? Bu sorulara cevap bulunamıyordu. Ancak  artık bu önemli soruların cevabı biliniyor.

Çok az kişinin sonuçlarını anlayabildiği CERN deneyinden çıkan sonuç ve kuvantum mekaniği bu sorulara cevap buldu. CERN’de teorik olarak var olması gerektiği bulunan ancak deneysel olarak o güne kadar gözlenememiş (teknolojik yetersizlikten) olan Higgs bozonu keşfedildi. Higgs bozonu maddeye kütlesini veren parçacıktır. Higgs bozonunun kuvantum dünyasındaki davranışı maddeye kütle kazandırıyor. Peki CERN  nedir? CERN  çok büyük bir mikroskoptur. Dünyada şu anda var olan en büyük mikroskop. Optik mikroskop demek  merceklerden yapılan ve ışık yardımı ile baktığı yeri inceleyebilen mikroskop demektir. Fakat bir optik mikroskobu istediğiniz kadar büyütseniz de, çok çok büyük mercekler yapsanız da büyütme gücü belli bir yerden sonra sabit kalır ve ondan sonrası bulanıktır. Bunun nedeni ışık yardımı ile görebilmesidir. Görünür ışığın dalga boyu 6.5×10^-5 m’dir. Optik mikroskoplar bu değerden daha küçük boyutlardaki yapıları görememektedirler çünkü ışık o küçük boyutlara ulaşamamaktadır. Çünkü ışık kendi dalga boyundan daha küçük boyutlardaki yapılara ulaşamadığından optik mikroskoplarla atom altı dünya incelenememektedir. Bu nedenle elektron mikroskopları icat edilmiştir. Elektronlar tüplerin içinde hızlandırılırlar bu sayede frekansları küçültülerek daha küçük boyuttaki yapıları, ince yapıları görmek mümkün olur. CERN’de yapılan ise protonların dairesel dev mıknatıslar içinde  hızlandırılarak yüksek enerjiye ulaştığında   mikroskobunun gözlem yapılacak alanında  çarpıştırılması sonucu elde edilecek görüntülerin ve verilerin incelenmesi olayıdır. Ne kadar yüksek hızla çarpıştırırsanız o kadar hassas sonuç elde edersiniz. Higgs bozonunun keşfedilebilmesi için CERN  bu boyutlarda inşa edildi. Elde edilen sonuçlar Higgs bozonunun varlığını kanıtladı. Çin’de CERN ‘den  100 kat daha güçlü parçacık hızlandırıcısının yapımı projelendirildi. Bu bozonların davranışı ile ilgili çok detaylı bilgiler sağlayacağı gibi süpersimetri kuramında öngörülen ; her parçacığın anti parçacığı vardır fikrini deneysel olarak araştıracak. Çünkü CERN  şu anki gücü ile bazı anti parçacıkları oluşturamamıştır.

Peki evrendeki simetri nedir ? Yıllarca yapılan fizik araştırmalar sonucunda fizikçiler evren ile matematiksel simetri arasında çok ciddi bir ilişki olduğunu keşfettiler. Buna göre evrenin her yerinde bir şekilde simetri yasaları açık veya gizli olarak işlemektedir. Bazıları gözümüzün önündedir bazıları zekamızın göremeyeceği derinlikte ya da yapıdadır. Mesela zaman, hareket, boyut ve hız evrende simetriye sahiptir. Ne demek bu?  Evrenin yasaları zamanla değişmemektdir, bu zamanın simetrisidir. Zamanı tersine de çevirsek ilerletsek de değişmeyecektir. Yani evrenin yasaları zamana göre simetrik olarak çalışmaktadır. Aynı şekilde madde bir yerden başka bir yere gittiğinde ulaştığı yerde ve yol boyunca yine aynı fizik yasaları altında kalmaktadır. Madde hız kazandığında da aynı yasalara maruz kalmaktadır. Bu bir simetridir. Doğduğunuzdan beri bu duruma alıştığınız için tabi ki öyle olacak diyebilirsiniz ancak öyle olmak zorunda değildir. Başka özelliklere sahip bir evrende harekete bağlı simetri yok ise bir canlı tek bir adım attığında kafası ve ayağı farklı farklı noktalarda ortaya çıkabilir. Yani eğer her metre için farklı fizik kurallar geçerli ise bu durumda yer değiştirilmiş yerde hangi kurallar mevcutsa madde o kurallara bağlı değişikliklere uğrayacaktır. Yürümek ne kadar kolay değil mi? Başka bir evrende bir binaya doğru yürürken ona doğrudan değil de helezonik bir şekilde çevresini turlayarak yaklaşmak zorunda kalabilirsiniz. Bulunduğumuz evrenin böyle olması  homojenliğindendir. Fizik yasaları evrenin her yerinde aynıdır. Çünkü bir nesne başka yasaların geçerli olduğu bir evrende bir yerden bir yere doğrudan doğrusal olarak değil mesela diagonal ve dolaylı yollarla ulaşmak zorunda kalabilir. İçinde bulunduğu boyut buna izin vermiyor olabilir. Aynı şekilde hareket ettiğinde başka bir noktaya ulaştığında şeklinde ve molekül yapısında değişikliğe uğrayabilir.

Peki simetri kırılması nedir? Simetri kırılması evrende bir nesne ya da durumun içinde bulunduğu düzenin  değişiklik göstermesi sonucu yeni bir duruma geçmesidir. Bir seçimdir.  Ucu açılmış sivri uçlu bir özdeş bir kalemi kusursuz düz bir zemine koysanız, herhangi bir hava hareketinin olmadığı ve kuvvetin uygulanmadığı bir durumda bile, sadece yerçekiminin olduğu bir yerde koyduğunuzda kalem bir seçim yapıp bir yere düşecektir. işte kalemin hangi yöne düşeceğine böyle  bir durumda kuvantum dünyası karar verecektir. Kalem dimdik konduğunda yerçekimi kuvveti dikey yönde etki edeceğinden normadesonsuza dek öyle kalması gerektiği söylenebilir fakat bir süre sonra mutlaka düşecektir. Büyük patlama da bu şekilde gerçekleşmiştir. Olmayan evrenin yokluğun simetrisi bozulmuştur. Çok yoğun olan kütlesiz çekirdek yani 0 sayısnı simgeleyen durum, simteri kırılması sonucu bozulmuştur. Bu durumu da higgs bozonu bozmuştur.Çünkü kuvantum dünyasındaki sonsuz olasılıktan biri gerçekleşmek zorundadır. O anda çekirdek hem var olan hem de var olmayan maddeyi simgeleyen bir koca 0 gibiydi ve bu durum bozuldu. Zaman da büyük patlamanın gerçekleşmesi ile başladı. Bu nedenle  Tanrının evreni yaratacak zamanı da yoktu. Simetri kırılması evrende her zaman ve heryerde gözlemlenmektedir. Herhangi bir durum sonsuza dek aynı şekilde devam edememektedir. Bu aynı şekilde insanların canlıların hayatında da öyledir. Bir olay yaşanır ve artık ondan sonrası farklı olacaktır. Herhangi bir mevcut durum asla sonsuza dek korunamaz. Sıfır sonsuza dek sıfır olarak kalsaydı ne pozitif sayılar ne de negatif sayılar oluşabilirdi.

Bazı teorisyenler evreni açıklama konusunda sicim teorisini ortaya atmıştır. Sicim teorisine göre evrendeki tüm madde henüz göremeyeceğimiz kadar küçük ipliksi yapılardan oluşmaktadır. Sicim teorisini savunmaktadırlar çünkü açıklanamayan tüm durumlara cevap vermektedir. Süpersimetri kuramı ise sicim teorisinin gerçek olması için kanıtlanması gereken kuramdır. Yani süpersimetri eğer yoksa sicim teorisi de yoktur. Süpersimetri teorisi yukarıda da bahsedildiği gibi her parçacığın bir antisi olması gerektiğini söyler. Bazı parçacıkların antisi olduğu kanıtlı olarak biliniyor.Mesela artı ve eksi yüklü elektronlar, proton ve anti proton vb. Bazı parçacıkların antisi gözlemlenemedi.  Bunun için daha yüksek enerjili hızlandırıcılar gerekecektir. Sicim teorisi doğanın kuvantum yapısı içine kütle çekim kuramını dahil etme problemini çözmektedir.

mετiη  ∫arıλar

∫ayılar T∑orisinin K∅nuları

  • BÖLÜNEBİLME
  • MODÜLER ARİTMETİK
  • KONGRÜANSLAR : polinom kongrüanslar, primitif kökler
  • KUADRATİK REZİDÜLER
  • ARİTMETİK FONKSİYONLAR
  • KUADRATİK CİSİMLER : cebirsl sayılar, gauss tam sayıları
  • SÜREKLİ KESİRLER : sürekli kesirler, kuadratik irrasyoneller, pell denklemleri
  • KUADRATİK FORMLAR : İkili formlar, formların denkliği
Published in: on Ekim 17, 2016 at 2:02 pm  Yorum Yapın  

İkili Tabanda İlk Yüz Asal

10  , 11, 101, 111, 1011, 1101, 10001, 10011, 10111, 11101, 11111, 100101, 101001, 101011, 101111, 110101, 111011, 111101, 1000011, 1000111, 1001001, 1001111, 1010011, 1011001, 1100001, 1100101, 1100111, 1101011, 1101101, 1110001, 1111111, 10000011, 10001001, 10001011, 10010101, 10010111, 10011101, 10100011, 10100111, 10101101, 10110011, 10110101, 10111111, 11000001, 11000101, 11000111, 11010011, 11011111, 11100011, 11100101, 11101001, 11101111, 11110001, 11111011, 100000001, 100000111, 100001101, 100001111, 100010101, 100011001, 100011011, 100100101, 100110011, 100110111, 100111001, 100111101, 101001011, 101010001, 101011011, 101011101, 101100001, 101100111, 101101111, 101110101, 101111011, 101111111, 110000101, 110001101, 110010001, 110011001, 110100011, 110100101, 110101111, 110110001, 110110111, 110111011, 111000001, 111001001, 111001101, 111001111, 111010011, 111011111, 111100111, 111101011, 111110011, 111110111, 111111101, 1000001001, 1000001011, 1000011101.


Göründüğü gibi onluk düzende zıtız olan asalların bazıları  ikili tabanda zıtız değildir. Ayrıca mersenne asalları (2^n – 1  formunda olanlar ) ikili tabanda 11, 111, 11111, .. şeklinde gitmektedir. İkili tabanda bir mersenne asalı 2’nin kaçıncı kuvvetinden elde edilirse o kuvvet derecesi kadar 1’den oluşur. Fermat asalları yani 2^n + 1 formunda olanlar ise aralarında sadece 0’lar olacak şekilde 1 ile başlayıp 1 ile biterler. 101 (5), 10001 ( 17), 100000001 (257) …

Asal Tipleri

Zıtız Asallar

İlk 100.000 asal sayı içinde zıtız ( Palindrome) olan 170 asal sayı var.

2 3 5 7 11 101 131 151 181 191 313 353 373 383 727 757 787 797 919 929
10301 10501 10601 11311 11411 12421 12721 12821 13331 13831 13931 14341
14741 15451 15551 16061 16361 16561 16661 17471 17971 18181 18481 19391
19891 19991 30103 30203 30403 30703 30803 31013 31513 32323 32423 33533
34543 34843 35053 35153 35353 35753 36263 36563 37273 37573 38083 38183
38783 39293 70207 70507 70607 71317 71917 72227 72727 73037 73237 73637
74047 74747 75557 76367 76667 77377 77477 77977 78487 78787 78887 79397
79697 79997 90709 91019 93139 93239 93739 94049 94349 94649 94849 94949
95959 96269 96469 96769 97379 97579 97879 98389 98689 1003001 1008001 1022201
1028201 1035301 1043401 1055501 1062601 1065601 1074701 1082801 1085801 1092901 1093901 1114111 1117111 1120211 1123211 1126211 1129211 1134311 1145411 1150511
1153511 1160611 1163611 1175711 1177711 1178711 1180811 1183811 1186811 1190911 1193911 1196911 1201021 1208021 1212121 1215121 1218121 1221221 1235321 1242421 1243421 1245421 1250521 1253521 1257521 1262621 1268621 1273721 1276721 1278721 1280821 1281821
1286821 1287821….

Bilinen en büyük zıtız /palindrome asal

10474500 + 999 x10237249 + 1 474 bin 501 basamaklı

Tabi ki sonsuz olduklarına dair henüz kanıt yok.

Mersenne Asalları

3, 7, 31, 127, ….. gibi

2^p -1 şeklinde olan asal sayılardır. Bu sayının asal olması için p asal olmak zorundadır ancak bu asal olması için yeterli değildir. Sonsuz oldukları düşünülmekte ancak kanıtlanmamıştır.

Fermat Asalları

2^f +1 şeklindeki asal sayılardır. Burada f aynı zamanda 2’nin kuvvetidir. Bilinen tüm fermat asalları 3, 5, 17,257, 65537 ‘dir. Başka var mı bilinmiyor. Sonlu olduğu düşünülmektedir. Çok büyük sayılara kadar gelişmiş bilgisayarlar ile tarama yapılmış hala bulunamamıştır. Süper bilgisayarınız ve uygun yazılımınız yoksa boşuna uğraşmayın. Bu ve benzeri çalışmalarda yazılımlar ve gelişmiş bilgisayarlar kullanılmaktadır.

Genelleştirilmiş Fermat Asalları

a^(2^n)+1,   şeklinde olan asallardır.  Bu sayının asal olması için a bir çift sayı olmak zorundadır.

919444^1048576+1  asal sayısı bilinen en büyük GFN asalı olup 6 milyon 253 bin 210 basamaklıdır.

Sophie Germain Asalları

p ve 2p+1 sayılarının ikisi birden asal ise p asal sayılarına Sophie Germain asalı denir. Örn : 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131 … gibi . Sonsuz sayıda  olup olmadıkları bilinmiyor.

Kadın matematikçi Sophie Germain 1825 yılı civarı Fermat’ın son teoremini   x^p+y^p=z^p.   p burada sophie germain asalları veya katları  olmak üzere p sayıları için   kanıtlamıştır.

Faktöriyel Asallar

n!+-1 şeklindeki asallardır. 711 bin 177 basamaklı  147855! -1 sayısı bilinen en büyük faktöriyel asaldır.

Cullen Asalları

n.2n+1  şeklindeki asallara Cullen asalları denir. Örnek; bilinen en büyük Cullen asalı

6679881  x 26679881 + 1 2010852 basamaklı

n.bn+1 şeklindeki asallara ise genelleştirilmiş Cullen asalları denir. Örnek olarak  bilinen en büyük G. Cullen asalı ;

1323365 x 116^1323365+1                                      2,732,038 basamaklı

 

Published in: on Ocak 27, 2016 at 2:58 pm  Yorum Yapın  

Problem 8

“Herhangi bir pozitif tam sayının  basamaklarından birisini değiştirerek her zaman bir asal sayı elde edebiliriz” düşüncesinin yanlış olduğunu gösteriniz. 

 

Kanıt 8 :

Soruda bahsedilen düşünce ile ilgili tek bir zıt örnek verilmesi düşüncenin yanlış olduğunu kanıtlayacaktır. 200 sayısını ele alırsak, bu sayıdan birbasamağını değiştirerek asal elde edebilmemiz için son basamağını tek sayılarla değiştirmemiz gerekir. Buna göre elde edilecek 201, 203, 205, 207, 209 sayılarından hiçbiri asal değildir. Çünkü ; 3 I 201, 7 I 203, 5 I 205,  3 I207, 11 I209  (yani 11 sayısı 209’u tam böler) . Bu durumda soruda bahsedilen   düşünce yanlıştır.