Uluğ Bey

i

Gelmiş geçmiş En büyük Türk astronomu  Uluğ Bey 1393  yılında zamanın Timur devleti sınırları içinde bulunan Sultaniye/iran’da Doğmuştur. Timur’un torunudur. Timur 1405 yılında öldükten sonra devlet oğluna kalmış, oğlundan da Uluğ bey’e kalmıştır. Ancak Uluğ bey devletin sınırlarını geliştirmekle ilgilenmemiş, gökyüzünü keşfin çok daha önemli olduğunu düşünmüş ve tüm çabasını gökyüzünü anlamaya vermiştir. Uluğ bey hem astronom hem matematikçidir. Din işleri ile hiçbir şekilde ilgilenmemiş ilgisini de çekmemiştir. Kendisini tamamen matematik ve astronomiye adayan Uluğ bey  Özbkistan Semerkand’da 1420’de  tamamladığı bir eğitim merkezi kurmuştur. Bu merkeze zamanının bulabildiği en iyi bilimadamlarını toplamış ve oraya ders vermelerini sağlamak üzere getirmiştir. Uluğ bey bu merkezde özgürce bilimsel tartışmaların yapılabildiği, astronomi ile ilgili problemlerin rahatça ve hiçbir sınır olmadan tartışılabildiği toplantılar düzenlemiştir.

Eğitim merkezine ek olarak Uluğ bey Semerkand’da daire şeklinde, 3 seviyesi olan, 50m çapında ve 35m yüksekliğinde büyük bir gözlemevi kurmuştur. Gözlemevinin yönetimini Ali Kuşçu yapmıştır. Ali Kuşçu, Uluğ bey’in doğancıbaşıcısıdır. Lakabı buradan gelmiştir.Ali Kuşçu Semerkand’da doğup yetişmiştir. Burada iken Uluğ bey, Kadızade Rumi, ve al kashi’den matematik dersleri almıştır. Ali kuşçu Uluğ bey’in ölümü üzerine Semerkand’dan ayrılıp Akkoyunlu-Osmanlı arasında elçilik yapmak için istanbul’a gelmiş burada Fatih ile tanışmıştır. Fatih Sultan mehmet ona istanbul’da ders vermesini teklif etmiştir. Dolayısıyla bu nedenden ötürü Ali Kuşçu’dan aslında bir osmanlı bilim insanı olarak bahsetmek yanlıştır. Çünkü kendisi Timur devletinin kurucusu Timur’un torunu Uluğ bey’in kurduğu eğitim merkezinde dersler alarak bu seviyeye ulaşmıştır. Fatih sultan mehmet onun önemini anlayacak kapasitede bir hükümdar olduğundan istanbul’da kalmasını istemiştir. Bu sebeple istabul’da kalmış ve burada matematik dersleri vermiştir. Ancak daha sonra görüleceği üzere Fatih’in bu konuya verdiği değeri kendisinden sonra gelen hükümdarların vermediği, bu eğitim sisteminin oturtulamadığı ya da oturmadığı, ya da bunun istenmediği görülmüştür. Osmanlı devletinin aslında bu noktada bilimsel gelişmede kırılma ve çok önemli bir inceliği kaçırdığını, dönüm noktasının üstesinden gelmediğini görmekteyiz. Uluğ bey ve ekibi bu gözlemevinde kübik denklemlerin çözümü, binom teoremi üzerine çok önemli katkılar yapmıştır.Uluğ bey sinüs ve tanjant hesaplamalarına dair 8.’ci ondalık basamağa kadar oldukça yüksek derecede doğruluk içeren tablolar oluşturmuş trigonometri’ye çok önemli katkılar yapmıştır.  Uluğ bey sin 1° = 0.017452406437283571  olarak bulmuştur. Bugün ise sin 1° = 0.017452406437283512820 olarak bilinmektedir ve zamanı için çok yüksek bir doğruluk içermektedir. Uluğ bey’in tabloları yüzlerce yıl referans olarak Avrupa bilim adamları tarafından kullanılmış ancak daha sonra daha da ileri geliştirilebilmiştir. Bu gözlemevinde Uluğ bey bir yılı 365 gün 5 saat 49 dk 15 saniye bularak kesin değere çok yakın bir sonuç elde etmiştir. Bu değeri güneş, ay ve gezegenlerin hareketlerini izleyerek bulmuştur. Uluğ bey’in gezegenlerin (saturn, mars, jüpiter, venüs)  hareketi üzerine verileri modern çağ verilerinden sadece 2 saniye farklı idi.  Kurduğu gözlemevinde 892 gökcisminin yerini tespit ederek bir harita oluşturdu ve bu harita daha sonraki Avrupa bilim insanlarına bir rehber oluşturdu. Uluğ bey babasının tek çocuğu idi, devleti devam ettirecek güçte değildi ve kendi oğlunun isyanı ile kendi oğlu tarafından 27 ekim 1449’da öldürüldü.

Uluğ bey şöyle bir söz söylemiştir  “Her gerçek müslümanın gerçek görevi daha fazla bilimsel bilgi için çabalamaktır.”

Ulugh_Beg_3

Uluğ Bey – basılmış bir pul

 

Ulugh_Beg_observatory_2

Uluğ bey’in Semerkand’daki gözlemevinden kalan

0_111ed2_f0e0b468_orig

 

Metin Sarıyar

Reklamlar

DÜZGÜN 17’GEN ÇİZİMİ

C.F.Gauss göstermiştir ki sadece cetvel ve pergel kullanarak düzgün bir n’genin çizilebilmesi için gerek ve yeter koşul   p = 2^2^a + 1 şeklinde bir asal  olmak üzere n sayısının    n= (2^k) .p1.p2….pi  olarak yazılabilmesidir. Burada p1,p2 birbirinden farklı fermat asalları olduğuna dikkat edelim. Bu durumda 3,4,5, 6,8, 10, 12, 15, 16,17, 20 ……257!    (2^8 + 1) genler çizilebiliyor. Ancak 7, 9, 11, 13, 14, 18, 21, 22,23.. genler çizilemiyor. Çünkü 3=2.1 + 1, 4=2.2, 5 = 2.2 + 1 , 6=3.2 (3’geni ikiye katlamak), 8= 4.2 (kareyi ikiye katlamak) , 10= 5.2 (5’geni ikiye katlamak), 12= 6.2 i, 15=( 3×5 üçgen ve beşgeni çizerek açı farkından faydalanarak çizmek)  ancak 7  2^a + 1 şeklinde yazılamayan bir asal olduğundan çizilememektedir. 9 ise 3 gen çizilebildiği halde, koşula uymadığından çizilememektedir. Aynı nedenden 25 gen de çizilemez. herhangi bir sayının çizilemeyen bu çokgenlerin katları da çizilemez. 27,36 gen vb…

Bilinen en büyük fermat asalı  65537 olduğundan teorik olarak cetvel ve pergel ile çizilebilecek en büyük asal sayı kenarlı düzgün çokgen de şimdilik 65537’gendir. Bu çizimi yapmak için özel bir arazi ve özel inşa edilmiş yeterince büyük pergel makinası gereklidir. Bir kenarı 1cm uzunluğunda olan düzgün bir 65537’genin yarıçapı yaklaşık en az 104m’dir ve en az 34158m2 alan kaplar.

Bir kenar yay uzunluğu 1cm olan düzgün bir 257’genin yarıçapı  en az 40 cm olur. Fakat bu çizimde uygulamada çok hata çıkacaktır çünkü çok fazla yay çizilecek ve hata birikimi fazla olacaktır. Bu tür çizimlerde her yay çiziminde hata bir sonraki yay çizimine aktarılır ve nihayetinde hata büyük çıkar. Hatanın görünürlüğünü azaltmak için daha büyük bir 257’gen çizmek gerekir. Bir kenar yayı 10cm olursa yarıçapı en az 409cm olur. Bu durumda rahat bir çizim için en azından 10m’lik bir pergel gerekir. Bu yapılamayacak birşey değil. Şimdi aşağıdaki çizimde dikkatli bakılmazsa  hata görünürde pek fark edilmiyor. Tabi ki daha kaliteli bir pergel ve dikkatli çizim ve çok keskin bir uçla hata payı en aza indirilebilir.

Düzgün 17’gen çizimi

 Siz de çizebilirsiniz…

1 (1)

1 (2)

1 (3)

Uygulamada pergel kullanımından kaynaklanan ufak hata payı olabilir.

çizim yöntemi- kaynak : https://www.uwgb.edu/dutchs/PSEUDOSC/17-gon.HTM

Subbaya Sivasankaranarayana Pillai

fl24math pillai

Subbayya Sivasankaranarayana Pillai  Hintli sayı teorisyeni bir matematikçi. 1901 yılında doğmuş ve 1950 yılında hayatını kaybetmiştir. Bu isime Çukurova Üniversites’inde   mühendislik okurken kütüphanede “unsolved problems in number theory” isimli (sayılar teorisinde çözülememiş problemler) kitabı okurken rastladım. Ufak bir detaydı çok dikkatimi çekti soy ismi. O an bu soyadının mutlaka Türkiye ile bir alakası olmalı diye düşündüm. Ancak tamamen alakasız bir rastlantı da olabilir.

Hintli matematikçi sayılar teorisinde Waring problemine yaptığı katkılarla biliniyor. Ramanujan’dan beri en etkili olmuş Hintli sayı teorisyeni olduğunu söylenir. Annesi doğduktan bir yıl sonra ölmüş. 1929-1941 yılları arasında Annamalai Üniversitesinde öğretim görevlisi olarak bulunmuş. Waring problemindeki en temel çalışmalarını da burada yapmış. Yaptıklarından ötürü 1950 yılında Princeton üniversitesine davet edilmiş. Harvard Üniversitesindeki uluslararası Matematik Kongresi’ne de davet edilmiş. Ancak ne yazık ki bu konferansa giderken meydana gelen uçak kazasında Mısır’da hayatını kaybetmiştir!

Matematiğe Katkıları

Sivasankaranarayana 1935 yılında waring problemini  k\ge 6 için kanıtladı. Göstermiştir ki l   sayısı  \leq (3/2)^{k}  den küçük en büyük doğal sayı olmak üzere    g(k)=2^{k}+l-2  ‘dir.

Ayrıca Pillai varsayımı, Pillai asalı ve Pillai aritmetik fonksiyonu ile de tanınan, alanında ünlü bir Matematikçidir.

Subbaya SivasAnkaraNarayana Pillai’yi saygıyla anıyoruz…

M∈tin ∫arıλar

İrrasyonel üslü bir irrasyonel sayı rasyonel olabilir

Teorem : a ve b olarak öyle iki irrasyonel sayı var mıdır ki  bª  bir rasyonel sayı olsun ?

Evet vardır.

Örnekli Kanıt  : √10 ve log(4) irrasyonel sayılardır ve   √10 log(4) = 10log(2) = 2 olup rasyoneldir.

Kanıt 2 :

√2 ‘nin bir irrasyonel sayı olduğunu biliyoruz.

a =b= √2 olsun , eğer √2^√2( √2 üssü √2) bir rasyonel sayı ise zaten durumu karşılar.

Bu durumda  diyelim ki √2^√2 bir irrasyonel sayı, o halde b=√2^√2 alabiliriz. Böylece bª= (√2^√2)^√2 = √2^2 =2 olacaktır ve bu bir rasyonel sayıdır. Bu durumda teorem kanıtlanmış olur.

Not: √2 üssü √2 bir irrasyonel sayıdır. Bu kanıt (√2^√2)’nin rasyonel olduğunu göstermez. Bakınız ;

Gelfond–Schneider theoremi

If α and β are algebraic numbers with α0,1 and β irrational then α^β is a transcendental number.

Polyá Sanısı ve Matematiğin Keskin Yüzü

İnsanların sürekli genellemeler yaptığı,mesela bir iddiaya dönük çok sayıda örnek varsa ona inanıldığı sıradan hayatın aksine matematikte böyle bir durum söz konusu olamaz. Matematikte bir teori için iddia edileni destekleyen bir sürü örnek varsa ve aksini destekleyen hiç örnek bulunamamışsa bile matematiksel bir kanıt bulunmadığı sürece hipotez yanlış ve aksi doğru olabilir. İşte Polya sanısı da buna çok güzel bir örnektir. Matematikte inanç yoktur.Kesinlik vardır ve bu kesinliğin sembolü de kanıttır. Teorik matematikçiler bir teorinin kanıtını isterler, onlar için kanıtı olmayan birşeyi iddia etmenin çok da anlamı yoktur. Matematikçiler kanıtlara hayrandırlar çünkü gerçek orada yatar. Peki ne idi bu Polya varsayımı?

Macar matematikçi George Polyà 1919 yılında bir iddiada bulundu. Bu iddiaya göre 1’den büyük herhangi bir n tamsayısı için bu sayıya kadar olan pozitif tamsayıların en az yarısının asal çarpanlarının faktörleri toplamı tek sayıdır. Yani mesela 24 sayısını ele alalım . 24 =3×2^3 ve  çarpanların kuvvet toplamı 3+1 =4 yani çift sayıda (asal faktörlerin kuvvetleri toplamı) . 30 = 2x3x5 ve 3 tane çarpanı var. n=10 için 10 sayısına kadar 5 tane sayının ( 2,3,5,7,8) faktörlerinin toplamı tek sayıdır .100’e kadar 51 tane sayının , 1000’e kadar 507 sayının asal faktör toolamı tek sayıdır.  Bu iddiaya göre hangi sayıyı alırsanız alın o sayıya kadar olan sayıların her birinin asal çarpanlarının faktör toplamı çoğunlukla tek sayıdır. Bir sürü matematikçi aksi için örnek bulmaya çalıştı. Çok büyük sayılara kadar Polya varsayımı doğru görünüyordu. Bilgisayar programları kullanılarak yapılan hesaplarda 900 milyonlu sayılara kadar iddia doğru görünüyordu. Ta ki 1958 yılında C.Brian Haselgrove aksini keşfeden kadar. Haselgrove gösterdi ki aksini doğrulayan bir örnek var. 1.845×10^361 (10 un 361 dereceden kuvveti) sayısı civarında iddianın doğru olmadığını kanıtladı. Başka bir aksi örnek 1960 yılında bulundu. n=906150257 sayısı için varsayım geçersizdi.

Bu matematiğin keskin yüzüdür. Çok büyük sayılara kadar bir iddia gerçek gibi görünürken ve birçok kişi buna inanmaya başlarken birden aksi kanıtlanıverir. Fermat asallarının sonlu sayıda olduğu düşüncesi de belki doğru değildir. Kanıtı henüz yok. Fermat asalları 2^n + 1 formunda olan asallara denir. Bilinen fermat asalları 2+1=3, 4+1=5, 16+1=17, 256+1=257 ve bilinen son Fermat asalı 2^16 +1 =65537 ‘dir. Bundan başka var mı bilinmiyor. Çok büyük sayılara kadar günümüzün gelişmiş bilgisayarları ile yapılan aramalarda başka bir Fermat asalına rastlanmadı. Matematikçilerin çoğu Fermat asallarının sonlu sayıda olduğuna inanıyor. Bunun aksini savunan az sayıda matematikçi de var. Sayıların sonsuzluğu insan hayal gücünün ötesinde. Asal sayıların da sonsuz çoklukta olduğu biliniyor. Söz konusu sonsuzluk olduğu sürece çok çok büyük bir sayıdan sonra Fermat asallarının sayısında hızlı bir artış başlıyor da olabilir. Burada önemli olan başka bir sayı var mı yok mu ‘dan öte Fermat asallarının sonlu ya da sonsuz olduğuna dair bir kanıtı elde etmektir. Sayıyı keşfeden sadece sayının keşifçisi olarak kalır. Bu zaten günümüzde gelişmiş bilgisayrların aldığı ünvanlardır. Ünvanın sahibi de o programın yazılımcısı ve bilgisayarın kullanıcısı oluyor. İnsan zekası nereye gidecek bilemeyiz ancak görünen o ki insan zekası birşeyleri keşfetmek yerine birşeyleri keşfedecek, büyük sorulara çözüm bulacak, çözülememiş matematik problemlerini çözecek yapay zekaları oluşturma yönünde değişmeye başladı. Belki de çok yakında bir gün henüz çözülememiş bir matematik problemini yapay bir zeka kanıtlayacak. Bu zaten günümüzde basit ölçekte yaşanıyor ancak günümüzde yaşanan büyük hesaplamaları elde etmeye dönük.Hesaplama yapmak bir zeka değil. Burada bahsedilen zekasını durmadan artıran kendi kendisini sınırsızca geliştiren, ve insan gibi hatta daha ileri analitik düşünebilecek ve olabilecek en kısa matematiksel kanıtları elde edebilecek bir yapay zeka (artificial intelligence AI)

M∈tin ∫arıλar

Published in: on Kasım 14, 2016 at 6:57 pm  Yorum Yapın  
Tags: , ,

Simetri Kırılması ve Evrenin Başlangıcı

Spontaneous_symmetry_breaking_(explanatory_diagram)

Evrenin büyük patlama sonucu milyarlarca yıl önce gerçekleştiği biliniyordu. Çünkü bütün kanıtlar onu gösteriyordu. Yapılan bütün gözlemler ve deneyler sadece tekrar tekrar kanıtladı. Fakat bilinmeyen, açıklanamayan sorular vardı. Büyük patlamaya sebep olan neydi? Madde nasıl kütle kazanıyordu?  Kütlenin kaynağı ne idi? Bu sorulara cevap bulunamıyordu. Ancak  artık bu önemli soruların cevabı biliniyor.

Çok az kişinin sonuçlarını anlayabildiği CERN deneyinden çıkan sonuç ve kuvantum mekaniği bu sorulara cevap buldu. CERN’de teorik olarak var olması gerektiği bulunan ancak deneysel olarak o güne kadar gözlenememiş (teknolojik yetersizlikten) olan Higgs bozonu keşfedildi. Higgs bozonu maddeye kütlesini veren parçacıktır. Higgs bozonunun kuvantum dünyasındaki davranışı maddeye kütle kazandırıyor. Peki CERN  nedir? CERN  çok büyük bir mikroskoptur. Dünyada şu anda var olan en büyük mikroskop. Optik mikroskop demek  merceklerden yapılan ve ışık yardımı ile baktığı yeri inceleyebilen mikroskop demektir. Fakat bir optik mikroskobu istediğiniz kadar büyütseniz de, çok çok büyük mercekler yapsanız da büyütme gücü belli bir yerden sonra sabit kalır ve ondan sonrası bulanıktır. Bunun nedeni ışık yardımı ile görebilmesidir. Görünür ışığın dalga boyu 6.5×10^-5 m’dir. Optik mikroskoplar bu değerden daha küçük boyutlardaki yapıları görememektedirler çünkü ışık o küçük boyutlara ulaşamamaktadır. Çünkü ışık kendi dalga boyundan daha küçük boyutlardaki yapılara ulaşamadığından optik mikroskoplarla atom altı dünya incelenememektedir. Bu nedenle elektron mikroskopları icat edilmiştir. Elektronlar tüplerin içinde hızlandırılırlar bu sayede frekansları küçültülerek daha küçük boyuttaki yapıları, ince yapıları görmek mümkün olur. CERN’de yapılan ise protonların dairesel dev mıknatıslar içinde  hızlandırılarak yüksek enerjiye ulaştığında   mikroskobunun gözlem yapılacak alanında  çarpıştırılması sonucu elde edilecek görüntülerin ve verilerin incelenmesi olayıdır. Ne kadar yüksek hızla çarpıştırırsanız o kadar hassas sonuç elde edersiniz. Higgs bozonunun keşfedilebilmesi için CERN  bu boyutlarda inşa edildi. Elde edilen sonuçlar Higgs bozonunun varlığını kanıtladı. Çin’de CERN ‘den  100 kat daha güçlü parçacık hızlandırıcısının yapımı projelendirildi. Bu bozonların davranışı ile ilgili çok detaylı bilgiler sağlayacağı gibi süpersimetri kuramında öngörülen ; her parçacığın anti parçacığı vardır fikrini deneysel olarak araştıracak. Çünkü CERN  şu anki gücü ile bazı anti parçacıkları oluşturamamıştır.

Peki evrendeki simetri nedir ? Yıllarca yapılan fizik araştırmalar sonucunda fizikçiler evren ile matematiksel simetri arasında çok ciddi bir ilişki olduğunu keşfettiler. Buna göre evrenin her yerinde bir şekilde simetri yasaları açık veya gizli olarak işlemektedir. Bazıları gözümüzün önündedir bazıları zekamızın göremeyeceği derinlikte ya da yapıdadır. Mesela zaman, hareket, boyut ve hız evrende simetriye sahiptir. Ne demek bu?  Evrenin yasaları zamanla değişmemektdir, bu zamanın simetrisidir. Zamanı tersine de çevirsek ilerletsek de değişmeyecektir. Yani evrenin yasaları zamana göre simetrik olarak çalışmaktadır. Aynı şekilde madde bir yerden başka bir yere gittiğinde ulaştığı yerde ve yol boyunca yine aynı fizik yasaları altında kalmaktadır. Madde hız kazandığında da aynı yasalara maruz kalmaktadır. Bu bir simetridir. Doğduğunuzdan beri bu duruma alıştığınız için tabi ki öyle olacak diyebilirsiniz ancak öyle olmak zorunda değildir. Başka özelliklere sahip bir evrende harekete bağlı simetri yok ise bir canlı tek bir adım attığında kafası ve ayağı farklı farklı noktalarda ortaya çıkabilir. Yani eğer her metre için farklı fizik kurallar geçerli ise bu durumda yer değiştirilmiş yerde hangi kurallar mevcutsa madde o kurallara bağlı değişikliklere uğrayacaktır. Yürümek ne kadar kolay değil mi? Başka bir evrende bir binaya doğru yürürken ona doğrudan değil de helezonik bir şekilde çevresini turlayarak yaklaşmak zorunda kalabilirsiniz. Bulunduğumuz evrenin böyle olması  homojenliğindendir. Fizik yasaları evrenin her yerinde aynıdır. Çünkü bir nesne başka yasaların geçerli olduğu bir evrende bir yerden bir yere doğrudan doğrusal olarak değil mesela diagonal ve dolaylı yollarla ulaşmak zorunda kalabilir. İçinde bulunduğu boyut buna izin vermiyor olabilir. Aynı şekilde hareket ettiğinde başka bir noktaya ulaştığında şeklinde ve molekül yapısında değişikliğe uğrayabilir.

Peki simetri kırılması nedir? Simetri kırılması evrende bir nesne ya da durumun içinde bulunduğu düzenin  değişiklik göstermesi sonucu yeni bir duruma geçmesidir. Bir seçimdir.  Ucu açılmış sivri uçlu bir özdeş bir kalemi kusursuz düz bir zemine koysanız, herhangi bir hava hareketinin olmadığı ve kuvvetin uygulanmadığı bir durumda bile, sadece yerçekiminin olduğu bir yerde koyduğunuzda kalem bir seçim yapıp bir yere düşecektir. işte kalemin hangi yöne düşeceğine böyle  bir durumda kuvantum dünyası karar verecektir. Kalem dimdik konduğunda yerçekimi kuvveti dikey yönde etki edeceğinden normadesonsuza dek öyle kalması gerektiği söylenebilir fakat bir süre sonra mutlaka düşecektir. Büyük patlama da bu şekilde gerçekleşmiştir. Olmayan evrenin yokluğun simetrisi bozulmuştur. Çok yoğun olan kütlesiz çekirdek yani 0 sayısnı simgeleyen durum, simteri kırılması sonucu bozulmuştur. Bu durumu da higgs bozonu bozmuştur.Çünkü kuvantum dünyasındaki sonsuz olasılıktan biri gerçekleşmek zorundadır. O anda çekirdek hem var olan hem de var olmayan maddeyi simgeleyen bir koca 0 gibiydi ve bu durum bozuldu. Zaman da büyük patlamanın gerçekleşmesi ile başladı. Bu nedenle  Tanrının evreni yaratacak zamanı da yoktu. Simetri kırılması evrende her zaman ve heryerde gözlemlenmektedir. Herhangi bir durum sonsuza dek aynı şekilde devam edememektedir. Bu aynı şekilde insanların canlıların hayatında da öyledir. Bir olay yaşanır ve artık ondan sonrası farklı olacaktır. Herhangi bir mevcut durum asla sonsuza dek korunamaz. Sıfır sonsuza dek sıfır olarak kalsaydı ne pozitif sayılar ne de negatif sayılar oluşabilirdi.

Bazı teorisyenler evreni açıklama konusunda sicim teorisini ortaya atmıştır. Sicim teorisine göre evrendeki tüm madde henüz göremeyeceğimiz kadar küçük ipliksi yapılardan oluşmaktadır. Sicim teorisini savunmaktadırlar çünkü açıklanamayan tüm durumlara cevap vermektedir. Süpersimetri kuramı ise sicim teorisinin gerçek olması için kanıtlanması gereken kuramdır. Yani süpersimetri eğer yoksa sicim teorisi de yoktur. Süpersimetri teorisi yukarıda da bahsedildiği gibi her parçacığın bir antisi olması gerektiğini söyler. Bazı parçacıkların antisi olduğu kanıtlı olarak biliniyor.Mesela artı ve eksi yüklü elektronlar, proton ve anti proton vb. Bazı parçacıkların antisi gözlemlenemedi.  Bunun için daha yüksek enerjili hızlandırıcılar gerekecektir. Sicim teorisi doğanın kuvantum yapısı içine kütle çekim kuramını dahil etme problemini çözmektedir.

mετiη  ∫arıλar

∫ayılar T∑orisinin K∅nuları

  • BÖLÜNEBİLME
  • MODÜLER ARİTMETİK
  • KONGRÜANSLAR : polinom kongrüanslar, primitif kökler
  • KUADRATİK REZİDÜLER
  • ARİTMETİK FONKSİYONLAR
  • KUADRATİK CİSİMLER : cebirsl sayılar, gauss tam sayıları
  • SÜREKLİ KESİRLER : sürekli kesirler, kuadratik irrasyoneller, pell denklemleri
  • KUADRATİK FORMLAR : İkili formlar, formların denkliği
Published in: on Ekim 17, 2016 at 2:02 pm  Yorum Yapın  

İkili Tabanda İlk Yüz Asal

10  , 11, 101, 111, 1011, 1101, 10001, 10011, 10111, 11101, 11111, 100101, 101001, 101011, 101111, 110101, 111011, 111101, 1000011, 1000111, 1001001, 1001111, 1010011, 1011001, 1100001, 1100101, 1100111, 1101011, 1101101, 1110001, 1111111, 10000011, 10001001, 10001011, 10010101, 10010111, 10011101, 10100011, 10100111, 10101101, 10110011, 10110101, 10111111, 11000001, 11000101, 11000111, 11010011, 11011111, 11100011, 11100101, 11101001, 11101111, 11110001, 11111011, 100000001, 100000111, 100001101, 100001111, 100010101, 100011001, 100011011, 100100101, 100110011, 100110111, 100111001, 100111101, 101001011, 101010001, 101011011, 101011101, 101100001, 101100111, 101101111, 101110101, 101111011, 101111111, 110000101, 110001101, 110010001, 110011001, 110100011, 110100101, 110101111, 110110001, 110110111, 110111011, 111000001, 111001001, 111001101, 111001111, 111010011, 111011111, 111100111, 111101011, 111110011, 111110111, 111111101, 1000001001, 1000001011, 1000011101.


Göründüğü gibi onluk düzende zıtız olan asalların bazıları  ikili tabanda zıtız değildir. Ayrıca mersenne asalları (2^n – 1  formunda olanlar ) ikili tabanda 11, 111, 11111, .. şeklinde gitmektedir. İkili tabanda bir mersenne asalı 2’nin kaçıncı kuvvetinden elde edilirse o kuvvet derecesi kadar 1’den oluşur. Fermat asalları yani 2^n + 1 formunda olanlar ise aralarında sadece 0’lar olacak şekilde 1 ile başlayıp 1 ile biterler. 101 (5), 10001 ( 17), 100000001 (257) …

Zıtız Asallar

İlk 100.000 asal sayı içinde zıtız ( Palindrome) olan 170 asal sayı var.

 

2 3 5 7 11 101 131 151 181 191 313 353 373 383 727 757 787 797 919 929
10301 10501 10601 11311 11411 12421 12721 12821 13331 13831 13931 14341
14741 15451 15551 16061 16361 16561 16661 17471 17971 18181 18481 19391
19891 19991 30103 30203 30403 30703 30803 31013 31513 32323 32423 33533
34543 34843 35053 35153 35353 35753 36263 36563 37273 37573 38083 38183
38783 39293 70207 70507 70607 71317 71917 72227 72727 73037 73237 73637
74047 74747 75557 76367 76667 77377 77477 77977 78487 78787 78887 79397
79697 79997 90709 91019 93139 93239 93739 94049 94349 94649 94849 94949
95959 96269 96469 96769 97379 97579 97879 98389 98689 1003001 1008001 1022201
1028201 1035301 1043401 1055501 1062601 1065601 1074701 1082801 1085801 1092901 1093901 1114111 1117111 1120211 1123211 1126211 1129211 1134311 1145411 1150511
1153511 1160611 1163611 1175711 1177711 1178711 1180811 1183811 1186811 1190911 1193911 1196911 1201021 1208021 1212121 1215121 1218121 1221221 1235321 1242421 1243421 1245421 1250521 1253521 1257521 1262621 1268621 1273721 1276721 1278721 1280821 1281821
1286821 1287821

Tabi ki sonsuz olduklarına dair henüz kanıt yok.

Published in: on Ocak 27, 2016 at 2:58 pm  Yorum Yapın  

Problem 8

“Herhangi bir pozitif tam sayının  basamaklarından birisini değiştirerek her zaman bir asal sayı elde edebiliriz” düşüncesinin yanlış olduğunu gösteriniz. 

 

Kanıt 8 :

Soruda bahsedilen düşünce ile ilgili tek bir zıt örnek verilmesi düşüncenin yanlış olduğunu kanıtlayacaktır. 200 sayısını ele alırsak, bu sayıdan birbasamağını değiştirerek asal elde edebilmemiz için son basamağını tek sayılarla değiştirmemiz gerekir. Buna göre elde edilecek 201, 203, 205, 207, 209 sayılarından hiçbiri asal değildir. Çünkü ; 3 I 201, 7 I 203, 5 I 205,  3 I207, 11 I209  (yani 11 sayısı 209’u tam böler) . Bu durumda soruda bahsedilen   düşünce yanlıştır.