DÜZGÜN 17’GEN ÇİZİMİ

C.F.Gauss göstermiştir ki sadece cetvel ve pergel kullanarak düzgün bir n’genin çizilebilmesi için gerek ve yeter koşul   p = 2^2^a + 1 şeklinde bir asal  olmak üzere n sayısının    n= (2^k) .p1.p2….pi  olarak yazılabilmesidir. Burada p1,p2 birbirinden farklı fermat asalları olduğuna dikkat edelim. Bu durumda 3,4,5, 6,8, 10, 12, 15, 16,17, 20 ……257!    (2^8 + 1) genler çizilebiliyor. Ancak 7, 9, 11, 13, 14, 18, 21, 22,23.. genler çizilemiyor. Çünkü 3=2.1 + 1, 4=2.2, 5 = 2.2 + 1 , 6=3.2 (3’geni ikiye katlamak), 8= 4.2 (kareyi ikiye katlamak) , 10= 5.2 (5’geni ikiye katlamak), 12= 6.2 i, 15=( 3×5 üçgen ve beşgeni çizerek açı farkından faydalanarak çizmek)  ancak 7  2^a + 1 şeklinde yazılamayan bir asal olduğundan çizilememektedir. 9 ise 3 gen çizilebildiği halde, koşula uymadığından çizilememektedir. Aynı nedenden 25 gen de çizilemez. herhangi bir sayının çizilemeyen bu çokgenlerin katları da çizilemez. 27,36 gen vb…

Bilinen en büyük fermat asalı  65537 olduğundan teorik olarak cetvel ve pergel ile çizilebilecek en büyük asal sayı kenarlı düzgün çokgen de şimdilik 65537’gendir. Bu çizimi yapmak için özel bir arazi ve özel inşa edilmiş yeterince büyük pergel makinası gereklidir. Bir kenarı 1cm uzunluğunda olan düzgün bir 65537’genin yarıçapı yaklaşık en az 104m’dir ve en az 34158m2 alan kaplar.

Bir kenar yay uzunluğu 1cm olan düzgün bir 257’genin yarıçapı  en az 40 cm olur. Fakat bu çizimde uygulamada çok hata çıkacaktır çünkü çok fazla yay çizilecek ve hata birikimi fazla olacaktır. Bu tür çizimlerde her yay çiziminde hata bir sonraki yay çizimine aktarılır ve nihayetinde hata büyük çıkar. Hatanın görünürlüğünü azaltmak için daha büyük bir 257’gen çizmek gerekir. Bir kenar yayı 10cm olursa yarıçapı en az 409cm olur. Bu durumda rahat bir çizim için en azından 10m’lik bir pergel gerekir. Bu yapılamayacak birşey değil. Şimdi aşağıdaki çizimde dikkatli bakılmazsa  hata görünürde pek fark edilmiyor. Tabi ki daha kaliteli bir pergel ve dikkatli çizim ve çok keskin bir uçla hata payı en aza indirilebilir.

Düzgün 17’gen çizimi

 Siz de çizebilirsiniz…

1 (1)

1 (2)

1 (3)

1 (4)

Uygulamada pergel kullanımından kaynaklanan ufak hata payı olabilir.

çizim yöntemi- kaynak : https://www.uwgb.edu/dutchs/PSEUDOSC/17-gon.HTM

Reklamlar

Subbaya Sivasankaranarayana Pillai

fl24math pillai

Subbayya Sivasankaranarayana Pillai  Hintli sayı teorisyeni bir matematikçi. 1901 yılında doğmuş ve 1950 yılında hayatını kaybetmiştir. Bu isime Çukurova Üniversites’inde   mühendislik okurken kütüphanede “unsolved problems in number theory” isimli (sayılar teorisinde çözülememiş problemler) kitabı okurken rastladım. Ufak bir detaydı çok dikkatimi çekti soy ismi. O an bu soyadının mutlaka Türkiye ile bir alakası olmalı diye düşündüm. Ancak tamamen alakasız bir rastlantı da olabilir.

Hintli matematikçi sayılar teorisinde Waring problemine yaptığı katkılarla biliniyor. Ramanujan’dan beri en etkili olmuş Hintli sayı teorisyeni olduğunu söylenir. Annesi doğduktan bir yıl sonra ölmüş. 1929-1941 yılları arasında Annamalai Üniversitesinde öğretim görevlisi olarak bulunmuş. Waring problemindeki en temel çalışmalarını da burada yapmış. Yaptıklarından ötürü 1950 yılında Princeton üniversitesine davet edilmiş. Harvard Üniversitesindeki uluslararası Matematik Kongresi’ne de davet edilmiş. Ancak ne yazık ki bu konferansa giderken meydana gelen uçak kazasında Mısır’da hayatını kaybetmiştir!

Matematiğe Katkıları

Sivasankaranarayana 1935 yılında waring problemini  k\ge 6 için kanıtladı. Göstermiştir ki l   sayısı  \leq (3/2)^{k}  den küçük en büyük doğal sayı olmak üzere    g(k)=2^{k}+l-2  ‘dir.

Ayrıca Pillai varsayımı, Pillai asalı ve Pillai aritmetik fonksiyonu ile de tanınan, alanında ünlü bir Matematikçidir.

Subbaya SivasAnkaraNarayana Pillai’yi saygıyla anıyoruz…

M∈tin ∫arıλar

İrrasyonel üslü bir irrasyonel sayı rasyonel olabilir

Teorem : a ve b olarak öyle iki irrasyonel sayı var mıdır ki  bª  bir rasyonel sayı olsun ?

Evet vardır.

Örnekli Kanıt  : √10 ve log(4) irrasyonel sayılardır ve   √10 log(4) = 10log(2) = 2 olup rasyoneldir.

Kanıt 2 :

√2 ‘nin bir irrasyonel sayı olduğunu biliyoruz.

a =b= √2 olsun , eğer √2^√2( √2 üssü √2) bir rasyonel sayı ise zaten durumu karşılar.

Bu durumda  diyelim ki √2^√2 bir irrasyonel sayı, o halde b=√2^√2 alabiliriz. Böylece bª= (√2^√2)^√2 = √2^2 =2 olacaktır ve bu bir rasyonel sayıdır. Bu durumda teorem kanıtlanmış olur.

Not: √2 üssü √2 bir irrasyonel sayıdır. Bu kanıt (√2^√2)’nin rasyonel olduğunu göstermez. Bakınız ;

Gelfond–Schneider theoremi

If α and β are algebraic numbers with α0,1 and β irrational then α^β is a transcendental number.