Polyá Sanısı ve Matematiğin Keskin Yüzü

İnsanların sürekli genellemeler yaptığı,mesela bir iddiaya dönük çok sayıda örnek varsa ona inanıldığı sıradan hayatın aksine matematikte böyle bir durum söz konusu olamaz. Matematikte bir teori için iddia edileni destekleyen bir sürü örnek varsa ve aksini destekleyen hiç örnek bulunamamışsa bile matematiksel bir kanıt bulunmadığı sürece hipotez yanlış ve aksi doğru olabilir. İşte Polya sanısı da buna çok güzel bir örnektir. Matematikte inanç yoktur.Kesinlik vardır ve bu kesinliğin sembolü de kanıttır. Teorik matematikçiler bir teorinin kanıtını isterler, onlar için kanıtı olmayan birşeyi iddia etmenin çok da anlamı yoktur. Matematikçiler kanıtlara hayrandırlar çünkü gerçek orada yatar. Peki ne idi bu Polya varsayımı?

Macar matematikçi George Polyà 1919 yılında bir iddiada bulundu. Bu iddiaya göre 1’den büyük herhangi bir n tamsayısı için bu sayıya kadar olan pozitif tamsayıların en az yarısının asal çarpanlarının faktörleri toplamı tek sayıdır. Yani mesela 24 sayısını ele alalım . 24 =3×2^3 ve  çarpanların kuvvet toplamı 3+1 =4 yani çift sayıda (asal faktörlerin kuvvetleri toplamı) . 30 = 2x3x5 ve 3 tane çarpanı var. n=10 için 10 sayısına kadar 5 tane sayının ( 2,3,5,7,8) faktörlerinin toplamı tek sayıdır .100’e kadar 51 tane sayının , 1000’e kadar 507 sayının asal faktör toolamı tek sayıdır.  Bu iddiaya göre hangi sayıyı alırsanız alın o sayıya kadar olan sayıların her birinin asal çarpanlarının faktör toplamı çoğunlukla tek sayıdır. Bir sürü matematikçi aksi için örnek bulmaya çalıştı. Çok büyük sayılara kadar Polya varsayımı doğru görünüyordu. Bilgisayar programları kullanılarak yapılan hesaplarda 900 milyonlu sayılara kadar iddia doğru görünüyordu. Ta ki 1958 yılında C.Brian Haselgrove aksini keşfeden kadar. Haselgrove gösterdi ki aksini doğrulayan bir örnek var. 1.845×10^361 (10 un 361 dereceden kuvveti) sayısı civarında iddianın doğru olmadığını kanıtladı. Başka bir aksi örnek 1960 yılında bulundu. n=906150257 sayısı için varsayım geçersizdi.

Bu matematiğin keskin yüzüdür. Çok büyük sayılara kadar bir iddia gerçek gibi görünürken ve birçok kişi buna inanmaya başlarken birden aksi kanıtlanıverir. Fermat asallarının sonlu sayıda olduğu düşüncesi de belki doğru değildir. Kanıtı henüz yok. Fermat asalları 2^n + 1 formunda olan asallara denir. Bilinen fermat asalları 2+1=3, 4+1=5, 16+1=17, 256+1=257 ve bilinen son Fermat asalı 2^16 +1 =65537 ‘dir. Bundan başka var mı bilinmiyor. Çok büyük sayılara kadar günümüzün gelişmiş bilgisayarları ile yapılan aramalarda başka bir Fermat asalına rastlanmadı. Matematikçilerin çoğu Fermat asallarının sonlu sayıda olduğuna inanıyor. Bunun aksini savunan az sayıda matematikçi de var. Sayıların sonsuzluğu insan hayal gücünün ötesinde. Asal sayıların da sonsuz çoklukta olduğu biliniyor. Söz konusu sonsuzluk olduğu sürece çok çok büyük bir sayıdan sonra Fermat asallarının sayısında hızlı bir artış başlıyor da olabilir. Burada önemli olan başka bir sayı var mı yok mu ‘dan öte Fermat asallarının sonlu ya da sonsuz olduğuna dair bir kanıtı elde etmektir. Sayıyı keşfeden sadece sayının keşifçisi olarak kalır. Bu zaten günümüzde gelişmiş bilgisayrların aldığı ünvanlardır. Ünvanın sahibi de o programın yazılımcısı ve bilgisayarın kullanıcısı oluyor. İnsan zekası nereye gidecek bilemeyiz ancak görünen o ki insan zekası birşeyleri keşfetmek yerine birşeyleri keşfedecek, büyük sorulara çözüm bulacak, çözülememiş matematik problemlerini çözecek yapay zekaları oluşturma yönünde değişmeye başladı. Belki de çok yakında bir gün henüz çözülememiş bir matematik problemini yapay bir zeka kanıtlayacak. Bu zaten günümüzde basit ölçekte yaşanıyor ancak günümüzde yaşanan büyük hesaplamaları elde etmeye dönük.Hesaplama yapmak bir zeka değil. Burada bahsedilen zekasını durmadan artıran kendi kendisini sınırsızca geliştiren, ve insan gibi hatta daha ileri analitik düşünebilecek ve olabilecek en kısa matematiksel kanıtları elde edebilecek bir yapay zeka (artificial intelligence AI)

M∈tin ∫arıλar

Reklamlar
Published in: on Kasım 14, 2016 at 6:57 pm  Yorum Yapın  
Tags: , ,

The URI to TrackBack this entry is: https://aritmetik.wordpress.com/2016/11/14/polya-sanisi-ve-matematigin-keskin-yuzu/trackback/

RSS feed for comments on this post.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s

%d blogcu bunu beğendi: