Problem 5

Kanıtlayınız ki 1, 31, 331, 3331, … serisi sonsuz çoklukta bileşik (asal olmayan) sayılar içerir.

(Açıklama : 1 hariç ( 1: matematiksel sabit ne bileşik ne de asal) ilk 7 seri asaldır. 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331 sayıları asal iken serideki 8’nci sayı ise 333333331 =17 X 19607843 olup bileşiktir. )

Kanıt :

Kolaylıkla kontrol edilebilir ki serinin n’inci terimi 1/3(10″-7) ‘ e eşittir. Bu durumda 10^2 == 15 == -2 (mod 17), buradan      10^8 == 16= = -1 (mod 17). Böylece 10^9 == -10 == 7 (mod 17), 10^16 == 1 (mod 17) olduğundan beri  10^(16k+9) == 7 (mod 17)  k = 0, 1, 2, …. için, böylelikle 17 I 1/3(10(16k+9) – 7), (17 böler 1/3(10(16k+9) – 7 ) ,ve 1/3(10^(16k+9)-7)  k = 0,1,2, … için,    >=1/3(10^9-7) > 17 olur ki hepsi bileşiktir. Ve 1/3(10″-7) sayısı  n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ve 8. için asaldırlar. en küçük bileşik ise 1/3(10^9-7) = 333333331.

problem buradan daha başka bileşik sayı olup olmadığı sorusuna gelir ki, Elimizde  10^2 = 5 (mod 19), buradan 10^4 = 25 == 6 (mod 19) ve 10^12 = 6^3 = 7 (mod 19), ve 10^18k = 1 (mod 19) olduğundan, elde ederiz ki ,k = 0, 1, 2, ..için         19 I 1/3(10^(18k+12)-7) (yani 19 sayısına sağ taraf bölünür)  buradan  1/3(10^12-7) bileşiktir. Bununla birlikte bu formda sonsuz çoklukta asal sayı olup olmadığı bilinmiyor.

Reklamlar

The URI to TrackBack this entry is: https://aritmetik.wordpress.com/2015/04/12/problem-6/trackback/

RSS feed for comments on this post.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s

%d blogcu bunu beğendi: