Elementer Sayılar Teorisinde Temel Problemler ve Çözümleri

                  ( Bu bölümde zaman içinde elementer sayılar teorisinden problemler ve çözümleri paylaşılacaktır.  )     ASAL VE BİLEŞİK SAYILAR İLE İLGİLİ TEMEL PROBLEMLER

     Problem 1 : Kanıtlayınız ki 4k+1 şeklindeki her asal sayı, kenarları tam sayı olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür. [Ya da köşegen uzunluğu 4k+1 formunda bir asal  olan tamsayı kenarlı sonsuz sayıda dik üçgen olduğunu kanıtlayınız.]  

     Kanıt  :  Fermat’ın bilinen  teoremine göre 4k+1 formunda olan her asal sayı iki pozitif tam sayının  karesinin toplamı olarak gösterilebilir. Bu durumda, eğer p sayısı  4k+1 şeklinde bir asal ise  a ve b pozitif tamsayı olmak üzere p= a^2 + b^2 , a>b için , o halde p^2 = (a^2 – b^2)^2 + (2ab)^2 ‘dir. Bu durumda p sayısı dik  kenar uzunlukları a^2 – b^2  ve 2ab olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür. (Örnekler : 5^2 = 3^2 + 4^2 , 29^2 = 21^2 +20^2 )                                                     

Problem 2:  Gösteriniz ki n > 6 olan her çift sayı için öyle iki p ve q asalı vardır ki (n-p , n-q)=1 ‘dir.  (n-p ve n-q aralarında asaldır)  

Kanıt : Bu asal sayılar  p=3 ve q=5 olmak üzere, eğer n çift ve n>6 ise o halde n-1>=6 , ve p<q

     Problem 3 :  Kanıtlayınız ki p^2 + q^2 = r^2 + s^2 + t^2 ‘nin p, q, r, s, t sayıları asal olmak üzere hiçbir çözümü yoktur. ( p^2 ifadesi : p’nin karesi )

Kanıt       :   Öncelikle söz konusu sayıların hepsi asal ve p^2 + q^2 = r^2 + s^2 + t^2 olsa idi, p ve q’nun her biri r,s,t sayılarından farklı olurdu. Eğer örneğin p=r olsa  q^2 = s^2 + t^ 2 olurdu ki q, s , t asal iken çözümü yoktur(kanıtlayınız) . Bununla birlikte s ve t sayılarının ikisi de aynı anda çift ya da tek sayı olamaz. (Bu durumda q=2 elde edilirdi ki varsayımımıza göre  sağ taraf >4 olması gerektiğinden imkansızdır.) Eğer s=2 olsa idi o halde 4 sayısı iki tamsayının karesinin farkı olurdu ki imkansızdır.    Eğer p^2 + q^2 = r^2 + s^2 + t^2 olsa o halde bu sayıların hepsinin tek olması imkansızdır. Eğer p çift ise o halde p=2 ve diğer sayılar tek iken , tek sayının karesi  8 ile bölümden 1 kalanını verdiğinden sol taraf 5 kalanını verirdi ve sonra sağ taraf 3 kalanını verirdi ki imkansızdır. Eğer p ve q’nun her ikisi de tek ise sol taraf 8 ile bölümden 2 kalanını verir, Bu durumda sağ taraftaki sayılardan biri çift olmalı farzedelim r=2 , bu durumda sağ taraf 8 ile bölümden 6 kalanını verirdi ki imkansız.

Problem 4 : iki tam sayının 4’üncü kuvvetlerinin toplamı olarak gösterilebilen 5 asal sayı bulunuz.

    Çözüm: 2=1^4 + 1^4 ,  17= 1^4 + 2 ^4 ,  97 = 2^4 + 3^4,   257= 1^4 + 4^4,   641= 2^4 + 5^4 .

    ( A.Schinzel göstermiştir ki her n pozitif tamsayısı için,  a ve b pozitif tamsayı olmak üzere a^2^n + b^2^n toplamı şeklinde sonsuz asal tamsayı vardır.)

Reklamlar

The URI to TrackBack this entry is: https://aritmetik.wordpress.com/2015/02/26/1-kosegen-uzunlugu-4k1-formunda-bir-asal-olan-tamsayi-kenarli-sonsuz-ucgen-oldugunu-kanitlayiniz/trackback/

RSS feed for comments on this post.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s

%d blogcu bunu beğendi: