Fermat’ın İki Kare Teoreminin Farklı İspatları

Teorem: Fermatın iki kare teoremi der ki ; 2 den farklı bir asal sayı iki kare toplamı olarak yazılabiliyorsa bu asal sayı 4k+1 şeklindedir. Diğer bir deyişle 4k+1 formundaki her asal iki kare toplamı olarak ve tek bir şekilde gösterilebilir.

P=x2 + y2 ancak ve ancak P ≡ 1 (mod4)

Fermat bunu söyledi ancak ispatını vermedi. İlk defa Euler 40 yaşında iken 1747 de bunun ispatını 5 adımda vermiştir. Daha sonra farklı ispatlar da bulunmuştur.

 

Euler’in Sürekli Serilere Dayalı İspatı

1.iki kare toplamı olarak yazılabilen iki sayının çarpımı da iki kare toplamı olarak gösterilebilir. Bu brahmagupta-Fibonacci özdeşliğidir.

(a2 + b2)(c2 + d2)=(ac-bd)2 + (ad + bc)2=(ac + bd)2 + (ad – bc)2

Örneğin : 5×13=65=12 + 82, 5=1 + 4 , 13= 4 + 9

2. İki kare toplamı olarak yazılabilen bir sayı iki kare toplamı olarak yazılabilen bir asal ile tam bölünebiliyorsa bölüm iki kare toplamı olarak gösterilebilir.

 Gerçekten de  , mesela (a2 + b2) sayısı (p2 + q2 )ile bölünebilsin. O halde (p2 + q2 ) ,

(pb − aq)(pb + aq) = p2b2 − a2q2 = p2(a2 + b2) − a2(p2 + q2) yi böler. (p2 + q2 ) asal olunca ,faktörlerden birini böler. Diyelim ki (pb − aq) yı bölsün

(a2 + b2)(p2 + q2)=(ap + bq)2 + (aq-bq)2 olduğundan beri bunu takiben p2 + q2 ,

(ap + bq)2yi bölmelidir.Bu nedenle eşitlik p2 + q2 tarafından bölünür.(p2 + q2)2 ile bölününce [(a2 + b2)/(p2 + q2)]=[(ap + bq)/(p2 + q2)] + [(aq- bp)/(p2 + q2)]2 çıkar.Bu iki kare toplamı olarak ifade edilebilmesi demektir.Eğer p2 + q2 , pb + aq yu bölerse yine benzer bir argüman  brahmagupta-fibonacci ilkesi

(a2 + b2)(p2 + q2)=(ap + bq)2 + (aq-bq)2 ,   kullanılarak ortaya çıkar.

3. Eğer İki kare toplamı olarak ifade edilebilen bir sayı iki kare toplamı olarak ifade edilemeyen bir sayı tarafından bölünebiliyorsa o halde sonucun faktörlerinden biri  iki kare toplamı olarak ifade edilemez.

   Farzedelim ki x , a2 + b2  yi böler. Bu durumda sonuç asal çarpanlarına ayrılırsa p1.p2….pn

o halde a2 + b2 = x.p1.p2….pn , eğer tüm asal faktörler iki kare toplamı ise o halde a2 + b2 p1.p2.. pn ile bölünebilir. Bir önceki adımı uygulayarak her sonucun iki kare toplamı olduğu sonucuna ulaşırız.Bu durumda eğer x iki kare toplamı olarak gösterilemiyorsa o halde asal çarpanlardan biri de iki kare toplamı olarak gösterilemez.

4. Eğer a ile b aralarında asal ise, o halde a2 + b2 nin tüm faktörleri iki kare toplamı olarak gösterilebilir.

  Bu sonsuz serileri kullanan bir adımdır. Diyelim ki x, a2 + b2 nin bir çarpanı, şunu yazabiliriz;

 

a = mx ± c , b = nx ± d , bu durumda

 

a2 + b2 = m2x2 ± 2mxc + c2 + n2x2 ± 2nxd + d2 = ax + (c2 + d2)

Bununla birlikte c2 + d2,  x ile bölünebilmelidir. c2 + d2 = yx olsun. Eğer c ile d aralarında asal değil ise o halde en büyük ortak bölenleri x ‘i bölemez(eğer bölseydi a ile b’yi de bölerdi ki aralarında asal olmalarıyla çelişirdi). Böylece en büyük ortak bölenlerinin karesi y’yi böler    (c2 + d2 ‘yi böldüğü gibi).Bu da bize şu eşitliği verir ki e ile f aralarında asal olmak üzere

e2 +f2= zx , (z , x/2 den büyük olmamak üzere).

 

zx = e2 + f2 ≤c2 + d2≤ (x/2)2 + (x/2)2 =x2/2 olduğundan beri ,

 

eğer c ile d aralarında asal ise onları e ile f  ile değiştirmeden doğrudan kullanabiliriz.

Eğer x iki kare toplamı değil ise , 3.adımdan , z’ nin iki kare toplamı olmayan bir çarpanı olmalıdır. Bu çarpana w diyelim. Bu x’den w’ye sonsuz bir seri verir. İkisi de iki kare toplamı değil ancak bir, iki kare toplamını bölen sayılar. Bu şekilde bir sonsuz seri mümkün olmadığından x’in iki kare toplamı olması gerektiği sonucuna erişiriz.

 

5. 4n+1 formundaki her asal iki kare toplamıdır.

 

Eğer p=4n+1 ise ,o halde fermat’ın küçük teoreminden ,1, 24n, 34n,…(4n)4n sayılarının her biri mod p’ye denktir. 24n -1 , 34n – 24n, …, (4n)4n – (4n-1)4n farklarının hepsi p ile bölünebilir.

Bu farkların hepsi şu şekilde gösterilebilir ;

 

a4n – b4n = (a2n + b2n)(a2n – b2n)

 

p asal olduğundan bu iki faktörden birini bölmelidir. 4n-1 ‘li lerden herhangi biri ilk faktörü bölüyorsa bir önceki adımdan görüldüğü gibi, p’nin kendisinin iki kare toplamı olduğu sonucuna ulaşırız(a ve b nin farkı 1 ,aralarında asal iken) . Bu yüzden bu p’nin ikinci faktörü her zaman bölemeyeceğini göstermek için yeterlidir. Eğer tüm 4n-1 farklarını bölerse

 22n – 1, 32n-22n ,…. , (4n)2n – (4n-1)2n o halde ardışık terimlerin tüm 4n-2 farklarını bölerdi ve farklarının tüm 4n-3 farklarınını da olduğu gibi..

1k, 2k, 3k … serisinin k’ncısı  k! ‘e eşit olduğundan beri ,2n’inci farkların hepsi sabit ve kesinlikle  p ile bölünemeyen  (2n)!’e eşit olurdu. Bununla beraber p , p’nin iki kare toplamı olduğunu kanıtlayan tüm ikinci faktörlerin hepsini bölemez .

 

Lagrange’nin Kuadratik Formlara Dayalı İspatı

Lagrange 1770’de kendisinin integral kuadratik formların genel teorisine dayalı bir ispat verdi.Aşağıdaki bu ispatın basite indirgenmiş halidir.

ax2 + 2bxy + cy2   ,a,b,c tamsayı olmak üzere bir kuadratik form alınacak olursa ,

 n = ax2 + 2bxy + cy2 ,olacak şekilde x,y var ve aynı kuadratik formda n vardır. O halde Fermat’ın iki kare teoremi x2 + y2 formunda bir p asalı vardır ki p≡1 (mod4) . Kuadratik formun diskriminantı b2 –ac olarak tanımlanır. X2 + y2 ‘nin diskriminantı ise -1 dir.

ax2 + 2bxy + cy2 ve  rx’2 + 2sx’y’ + ty’2 formları yalnızca ve yalnızca tamsayı katsayılı

x = αx’ + βy’

y = γx’ + δy’ 

 

 (αδ – βγ = ±1 olacak şekilde)

 

sayıları olduğunda eşittir. Eşit formların aynı diskriminanta sahip olduğu kolaylıkla görülebilir. Dahası eşit formlar aynı tamsayıları temsil edecektir.

Lagrange kanıtlamıştır ki diskriminantı −1  olan ve │b│≤ a ≤ c koşullarını sağlayan tüm formlar eşittir. Böylece Fermat’ın iki kare teoremini kanıtlamak için p’yi temsil eden ve diskriminantı -1 olan herhangi bir indirgenmiş form bulmak yeterlidir. Bunu yapmak için p , m2 + 1’i bölebilecek şekilde bir m sayısı bulmak yeterlidir. Böyle bir tamsayı bulmak için diskriminantı -1 olan şu formu gözönünde bulundurabiliriz;

 

Px2 + 2mxy + [ (m2 + 1)/p].y2

 

x=1 ve y=0 değerleri için p’ye eşittir.

Diyelim ki p=4n + 1 olsun . Şimdi Fermat’ın küçük teoremine başvuruyoruz. P ile aralarında asal olan herhangi bir z için , biliyoruz ki p, zp-1 -1 = z4n -1 = (z2n – 1)(z2n + 1)’i böler.Dahası , Lagrange’nin bir teoreminden , z2n – 1 ≡ 0 (mod p) kongrüansının 1,2,.., p-1=4n sayıları içinden en fazla 2n tane çözümü vardır. Bu nedenle p’deb daha küçük öyle z pozitif tamsayıları vardır ki p, z2n – 1 ‘i bölmez.Ancak p, z4n -1 = (z2n – 1)(z2n + 1)’yi bölmektedir. O halde p, z2n + 1’i bölmelidir. O halde m = zn  yazmak kanıtı tamamlar.

Reklamlar

The URI to TrackBack this entry is: https://aritmetik.wordpress.com/2011/08/13/fermatin-iki-kare-teoreminin-farkli-ispatlari/trackback/

RSS feed for comments on this post.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s

%d blogcu bunu beğendi: