Bölünebilme İle İlgili Henüz Çözülememiş Bazı Problemler

B1]  *Mükemmel Sayılar sonsuz çoklukta mı? (Perfect Numbers)

        S(n) = n ,  yani kendisi hariç pozitif tam bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayılara denir. (ya da tüm pozitif bölenleri kendisinin iki katı olan sayı , 1+2+3+6=6×2)

Örneğin : 6, 28, 496 … gibi , 6=1+2+3,   28= 1+2+4+7+14 

Açıklama : Bir mükemmel sayı çift ise onun 2p -1(2p – 1) formunda olması gerektiği ve 2p -1 nin asal olması gerektiği  gösterildi.  Ayrıca 2p -1 in asal ise 2p -1(2p – 1) in  bir mükemmel sayı olduğu da kanıtlarla biliniyor.

      *Bununla birlikte tek sayı olan bir mükemmel sayı olup olmadığı da çözülememiş problemlerden biridir. Carl Pomerance,  eğer bir tek sayı olan mükemmel sayı varsa en az 7 asal çarpanı olması gerektiğini göstermiştir.

B2]  2k dan başka Yaklaşık Mükemmel Sayılar Var mı? (almost perfect numbers)

      s(n)=n-1 olan sayılardır. Yani kendisi hariç pozitif bölenleri toplamı kendisinden bir küçük olan sayılardır. k >0 için 2k formunda olan tüm sayıların böyle bir özelliği vardır. Örneğin 24=16 için ,

s(16)= 1+2+4+8=15=16-1

*Çözülememiş soru şudur ki 2 nin kuvvetlerinden başka yaklaşık mükemmel olan bir sayı var mıdır?

    S(n)= n+1 olan sayılara ise sözde mükemmel (quasi perfect numbers) sayılar deniyor. Böyle bir sayı henüz bulunamadı olup olmadığı ise gösterilemedi ancak eğer varsa bir tek sayının kuvvetleri olması gerektiği gösterildi.

B3] Süper Mükemmel Sayılar ve Katlı Süper Mükemmel Sayılar (Super perfect Numbers)

      *Süper mükemmel sayılar arasında tek sayı olanı var mı? Mükemmel sayılarda da olduğu gibi henüz bilinmiyor.

      Açıklama :Hint matematikçi Suryanarayana ismini vermiştir ki ;Kısaca ,pozitif tam bölenlerinin toplamının pozitif tam bölenlerinin toplamı kendisinin iki katına eşit olan sayılara süper mükemmel sayılar denir. Fonksiyon olarak Q2(n)=Q(Q(n))=2n olarak gösterilir.

İlk yedi süper mükemmel sayı  : 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144 sayılarıdır.

Örneğin Q(2)=1+2=3 ve Q(3)=1+3=4=2×2  Yani Q2(2)=4  , Q(4)=1+2+4=7,Q(7)=1+7=8=2×4, Q2(4)=8

Q(16)=1+2+4+8+16=31 ve Q(31)=1+31=32=2×16   Q2(16)=32

Suryanarayana ve Kanold göstermiştir ki çift süper mükemmel sayılar sadece 2p – 1 asal olmak şartıyla 2p-1sayılarıdır. ( mesela 2=21 ve 22-1=3 asal, 4=22 ve 23-1=7 asal …)

** Q m(n)=2n olan sayılara da katlı süper mükemmel sayılar denir. m≥3 için çift bir katlı mükemmel sayı olmadığı Bode tarafından gösterilmiştir.

Fakat bence soru şöyle daha güzel  sorulabilirdi  =>

**Q m(n)=mn olan katlı süper mükemmel sayılar var mıdır? Bilinmiyor.

=>Bu arada Q2(n)=2n-1 olan sayılara da yaklaşık süper mükemmel sayılar denir.Var mı bilinmiyor.

B4] Dokunulmaz Sayılar (Untouchable Numbers)

      Herhangi bir sayının tüm pozitif bölenlerinin toplamı olarak gösterilemeyen sayılara dokunulmaz sayılar denir.

     Erdös kanıtlamıştır ki dokunulmaz sayılar sonsuz çokluktadır. 1000’e kadar ki dokunulmaz sayılar ;

(Untouchable numbers less then 1000)

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 178, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, 668, 670, 714, 718, 726, 732, 738, 748, 750, 756, 766, 768, 782, 784, 792, 802, 804, 818, 836, 848, 852, 872, 892, 894, 896, 898, 902, 916, 926, 936, 964, 966, 976, 982, 996.

*5’in  tek sayı olan tek dokunulmaz sayı olduğu düşünülüyor fakat henüz kanıtı yok.

** Cevabı bilinmeyen diğer soru da dokunulmaz sayılar arasındaen fazla ne kadar uzun  ardışık çift sayı serisine rastlanabilir? Örneğin 288,290,292 –  322,324,326 – 892,894,896,898 gibi…

*Ardışık iki dokunulmaz sayı arasındaki fark en fazla ne kadar olabilir? Sayılar büyüdükçe farklar da büyür diyebilirsiniz ancak daha en başında 2,5,52 52-5=47 gibi fark varken , 1000 e kadar bundan büyük bir farka rastlanmıyor.

B5] Q(n)=Q(n+1) kuralına uyan sonsuz çoklukta sayı var mıdır?

      *Yani tüm pozitif bölenlerinin toplamı kendisinden sonraki sayının pozitif bölenlerinin toplamına eşit olan sayılardan sonsuz çoklukta var mıdır? Bu özellikte ,107 den küçük 113 sayı bilinmektedir.

Bu sayıların bir kaçı 14, 206, 957, 1334, 1364, 1634, 2685, 2974, 4364,…

Örnek : 14 için Q(14)=1+2+7+14=24=Q(15)=1+3+5+15

B6]  31=(25-1)/(2-1)=(53-1)/(5-1)

       *31 sayısı P herhangi bir asal olmak üzere (P r-1)/(P-1) formunda yukarıdaki gibi birden fazla yol ile gösterilebilen tek asal sayımıdır?

     P ‘ nin asal olma şartı olmasaydı şöyle bir çözüm olabilirdi mesela 8191=(213-1)/(2-1)=(903-1)/(90-1)

B7] Faktöriyel Toplamları(Sum Of Factorials)

      *Kurepa tanımlamıştır ki  !n=0! + 1! + 2! + ….(n-1)! , bu durumda her n>2 için  !n’ in n ile bölümünden kalan 0’dan farklımıdır? Bilgisayar  ile gösterilmiştir ki 3≤n≤1000 için tutuyor.

Örneğin : !5=0!+1!+2!+3!+4!=34 ve 34 ≡4 (mod5)

B8] Faktöriyellerin toplam farkı (Alternating Sums Of Factorials)

     An = n! – (n-1)! + (n-2)! -..+…-(-1)!   İse An sonsuz çoklukta asal üretir mi?

Örneğin :           A3= 3!-2!+1!=5  asal

                           A4=4!-3!+2!-1!=19  asal

                          A5=5!-4!+3!-2!+1!=101 asal

n = 3,4,5,6,7,8,10,15,19, 41, 59, 61, 105, 160… sayıları için asaldır.

n=9,11,12,13,14,16,17,18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28  için An bileşiktir. Mesela  A9=79×4139 , A 11=13×2816537, A12=29×15254711

B9] Smith Sayıları (Smith Numbers)

     Rakamlarının toplamı,asal çarpanlarının rakamlarının toplamına eşit olan sayılara denir. Bu sayılara ismini kardeşinin telefon numarasının özelliğini keşfeden Albert Wiansky vermiştir.

  4937775=3x5x5x65837 ve (4+9+3+7+7+7+5)= (3+5+5+6+5+8+3+7)=42

  Ve 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121 …

         Kaynak : Richard K. Guy -1994 tarihli Unsolved Problems in Number Theory . Daha fazla çözülememiş problemi bu kitapta bulabilirsiniz. Problemlerden biri ilginizi çekerse 1994 ‘den beri  hala çözülememiş olup olmadığını, gelişmeleri  kontrol ediniz.            

     ..Devam Edecektir . Gelecek Yazı : Diophantine Denklemleri İle İlgili Çözülememiş Problemler

Reklamlar

The URI to TrackBack this entry is: https://aritmetik.wordpress.com/2011/05/10/bolunebilme-ile-ilgili-henuz-cozulememis-bazi-problemler/trackback/

RSS feed for comments on this post.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s

%d blogcu bunu beğendi: