Bazı Zarif Kanıtlar

Euler’in Denklemi

e iv = cosv + isinv

v = π için denklem şöyle olur => e i π = cosπ + isinπ , π=180° olduğundan, cos(180)=-1 , sin(180)=0  dır.

e i π  = -1          =>              e i π + 1 = 0   

Bu denklem, matematiksel beş sabitin bir arada bulunduğu bir denklemdir. Ayrıca görsel olarak güzel, kısa ve yalın anlaşılırdır. Göründüğü üzere e ve π aşkın sayılar olmasına karşın, e i π  = -1 olduğundan aşkın sayı değildir. 

Euler sayısının (e) irrasyonel olduğunun kanıtı 

Aşkın sayılar ve irrasyonel sayılar birbirinden farklıdır. Her aşkın sayı irrasyoneldir ancak her irrasyonel sayı aşkın sayı değildir. Örneğin √2 cebirsel olarak ifade edilebildiğinden aşkın sayı değildir sadece irrasyoneldir. Ancak e ve π aşkın sayılardır.

e’nin irrasyonel sayı olduğuna dair Özet bir kanıta aşağıdaki bağlantıdan ulaşabilirsiniz:

http://www.akademikmatematik.com/e-sayisinin-irrasyonelligi-uzerine.html 

Asal Sayıların Sonsuzluk İspatı

Teorem : Asal  sayılar sonsuzdur.

Kanıt :  Asal sayılar, 1 ve  kendisinden başka hiçbir sayıya bölünmeyen tam sayılardır. Aksini varsayalım ve asal sayıların sonlu olduğunu düşünelim.

P1, P2,P3 …..P n sayıları tüm asal sayılar olsun.

P=P1.P2.P3 ……P n + 1 sayısı yapısından dolayı P1,P2,….P n sayılarından hiçbirisine tam bölünmez ve 1 kalanını verir. Eğer bu P sayısı asal değil ise ,bir bileşik sayı ise bu durumda p1,p2,..pn sayılarından hiçbirisi bu P sayısının asal çarpanı olamaz. Her bileşik sayı asal çarpanlarının çarpımı olarak yazıldığından P sayısının bu asallardan farklı bir asal çarpanı vardır. Eğer bu P sayısı asal ise bu asallardan farklı olduğundan bu durumda asal ayılar sonsuzdur.

√3  Neden İrrasyoneldir?

Öncelikle rasyonel sayıların tanımını yapalım. Rasyonel sayı, a ve b aralarında asal tam sayılar olmak üzere a/b şeklinde yazılabilen sayılara denir.  1 ve kendisinden başka ortak böleni olmamalıdır. İrrasyonel sayıların ise böyle bir özelliği yoktur. Bunlar köklü ifadenin dışına çıkarılamayan sayılardır. Mesela √4 =2 olduğundan bir tamsayıdır. İrrasyonel değildir. Köklü olarak gösterilebilmesi onu irrasyonel yapmaz. Sadece ,  rasyonel sayıların n’ inci dereceden kuvvetleri alınarak n ‘inci dereceden kök içine alınabildiğini gösterir. Nedense köklü sayılar konusu okullarda işlenirken matematik hocaları köklü sayı ile irrasyonel sayı arasındaki farkı anlatmazlar. Köklü sayı başka şeydir, irrasyonel sayı başka şeydir.

Şimdi aksini varsayıp √3 ‘ün rasyonel olduğunu söyleyelim. Bu durumda,

√3= a/b  her iki tarafın karesini alalım =>  3 = a2 / b2 => a2=3b2 dir. Bu a sayısının 3 ile bölünebildiğini gösterir. O halde a=3x => a2=9x2 =3b2 , => b2 =3x2 olur ki bu b sayısının da 3 ile bölünebildiğini gösterir. Bu ise her ikisinin 3 ile bölünebildiğini gösterir. Halbuki √3 ‘ün rasyonel olması için a ve b’ nin aralarında asal olmaları gerekirdi. Demek ki bu sayı irrasyoneldir.

√7 Neden irrasyoneldir?

Aynı şekilde ,

7 = a/b olsa idi ,a2 / b2 => a2=7b2 olurdu, a bu durumda 7 ile bölünür. O halde a= 7x =>  a2=49x2 =7b2 , => b2 =7x2  bu b sayısının da 7 ile bölünebildiğini gösterir. Bu durumda her iki sayı 7 ile bölüneceğinden aralarında asal olamazlar. Bu nedenle 7  irrasyonel sayıdır.

Genellersek ;

 P bir asal tam sayı olmak üzere  √P irrasyonel sayıdır. 

Kanıt: Yukarıdaki kanıtta 7 olan yerlere P konursa, 49 olan yerlere P2  konursa genel kanıt elde edilir. 

 Herhangi bir köklü sayının irrasyonel olduğunu nasıl anlarız ?

Örnek olarak √8 irrasyonel midir bakalım.  Kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.        8 = 2^3  olduğundan  √8 = 2√2 ve √2 sayısı irrasyonel olduğundan sonuç olarak √8 irrasyonel olacaktır.

                       PİSAGOR TEOREMİNİN FARKLI KANITLARI

Pisagor teoreminin 100’den fazla kanıtı vardır. Bazı kısa kanıtlar ;

(Pisagor teoreminin 8 kısa ispatı  )

Kanıt 1 .

Aynı dik üçgenin dört kopyasının hipotenüsleri bir karenin kenarlarını oluşturacak şekilde, bu üçgenlerden 3 tanesi 90,180 ve 270 derece döndürülerek yerleştirilir . Her birinin alanı ab/2 olur.

İçteki karenin bir kenarı  (a – b)’dir.  İçteki karenin alanı (a – b)² ile üçgenlerin alanlarını toplayıp büyük karenin alanına eşitlersek eşitliği elde ederiz.

= (a – b)² + 2ab
= a² – 2ab + b² + 2ab

 

Kanıt 2 .

Dört tane dik üçgeni aşağıdaki gibi yerleştirdiğimizde ortada kenarı c olan bir kare oluşur. Bunu kapsayan karenin ise bir kenarı a+b olur. Bu durumda eşitlik , (a + b)² = 4·ab/2 + c² olur ki buradan sadeleştirme yaparak teoremi elde ederiz.

Kanıt 3

Şimdiki kanıt ise bir dik yamuktan faydalanılarak yapılmıştır. (Bulan; başkan J. A. Garfield , 1876)

Dik yamuğun alanını içerdeki üçgenlerin alanları toplamına eşitliyoruz.

(a+b)/2 x (a+b) = 2ab + c.c/2 . Sadeleştirmeler yapılırsa a² + b² = c² elde edilir.

 

 Kanıt 4 :

( J. Barry Sutton, The Math Gazette, v 86, n 505, March 2002, p72.)

ΔABC, ‘de açı  C = 90° olsun. AB = c, AC = b, BC = a.   AD = AE = b.

,C merkezi  A  olan çember üzerindedir ve yarıçapı  b. Açı DCE : DCE = 90° akabinde BCD = ACE. ΔACE ikizkenar olup , CEA = ACE.

DBC ve EBC üçgenleri DBC açısını paylaşır.  İlaveten , BCD = BEC. DBC ve EBC üçgenleri benzerdir. Böylece elde ederiz ki BC/BE = BD/BC, ya da a / (c + b) = (c – b) / a. Sonucunda  =>  a² = c² – b², a² + b² = c².

Kanıt : 5

(c – b)(c + b) = a²

John Molokach modification of proof #43

a/b = (b + c)/d,  böylece , d = b(b + c)/a

bd + ab/2 = (b + c)d/2

ab/2 = (c – b)d/2, or ab = (c – b)d.

ab = (c – b)d = (c – b)(c + b)b/a.

Buradan sadeleştirme sonucu  a² = c² – b². Çıkar.

Kanıt 6 :

Lise öğrencisi Jamie Delemos bulmuştur.

Yamuğun alanı üçgenlerin alanları toplamına eşitlendiğinde

(2a + 2b)/2·(a + b) = 2a·b/2 + 2b·a/2 + 2·c²/2 ,  . Sonucunda a² + b² = c²

 

Kanıt 7 :

(B. F. Yanney and J. A. Calderhead, Am Math Monthly, v.3, n. 12 (1896), 299-300, #XVIII)

AB·BK = BJ·BF,

ya da,

c·BK = (b – a)(b + a).

BK=AK-C, AK= 2b²/c. Yerlerine konduğunda eşitliği elde ederiz.

Kanıt 8 :

Dao Thanh Oai's pythagorean generalization

BC2=AB×BHb + AC×CHc. Eşitliği elde edilir. Buradan, A açısı 90 derece olduğu düşünülürse pisagor teoremi elde edilir.

Reklamlar

The URI to TrackBack this entry is: https://aritmetik.wordpress.com/2011/05/10/bazi-zarif-kanitlar/trackback/

RSS feed for comments on this post.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s

%d blogcu bunu beğendi: