Analiz ve Cebir İçin Bazı Ön Bilgiler

N : Doğal sayılar kümesi  N={1,2,3,4..}

Z : Tam sayılar kümesi    Z=Z+ +Z ,      Z + ={1,2,3,4..}    Z ={ -1,-2,-3,..}

Q: Rasyonel sayılar kümesi  Q= { r : r =p/q,  P ϵ Z, q ϵ  Z\{0}}

R: Reel sayılar kümesi

C: Karmaşık sayılar kümesi

a|b :  a,  b yi böler

R \ {0} :  0’ı içermeyen reel sayılar, sıfırdan farklı reel sayılar.

(m,n):  m ve n sayılarının OBEB i

[m,n]:  m ve n sayılarının OKEK i

NϵZϵQϵRϵC

BAZI KANIT YÖNTEMLERİ

T1 [ Olmayana Ergi Yöntemi] : A ve B herhangi iki önerme ve A’ ile B’ onların değilleri olsun. Bu durumda,

(A => B) ó (B’=> A’) olur. Yani A nın B yi gerektirmesi için gerek ve yeter koşul B’ nin A’ yı gerektirmesidir.

T 2 [ Matematiksel Tümevarım İlkesi] : Her n eleman N için bir V(n) önermesi verilmiş olsun. Bu önermeler için aşağıdakilerin sağlandığını varsayalım.

a) V(1) önermesi doğrudur.

b) Eğer n ≥ 1 için V(1),V(2), …. V(n) önermeleri doğru ise, V(n+1) önermesi de doğrudur. Bu durumda V(n) önermesi her n eleman N için doğrudur.

T3 [Dirichlet İlkesi] : n elemanlı bir küme k tane altkümenin birleşimi olarak yazılmışsa, bu altkümelerden en az birindeki eleman sayısı n/k dan az değildir.

FONKSİYONLAR

T4 [Bileşke Fonksiyonu] :  f: A → B ve g : B → C  fonkisyonlarının bileşkesi olan gof = h: A→C fonksiyonu her x eleman A noktasında h(x) = g[f(x)] ile tanımlanan fonksiyondur.

T5 [Ters Fonksiyon] :   f : A→ B fonksiyonu örten olsun. Her x ϵ  A ve y eleman B için

G[f(x)]= x ve f[g(y)] = y eşitliklerini sağlayan g fonksiyonuna f nin tersi denir, f -1 ile gösterilir.

T6 [Monotonluk] : S, R nin alt kümesi olsun ve f : S → R fonksiyonu verilsin. Her x1<x2 (x1,x2 eleman S) için

f(x1)<f(x2) ise, f artan

f(x1)>f(x2) ise, f azalan

f(x1) ≤ f(x2) ise, azalmayan ve f(x1)≥ f(x2) ise,f artmayan fonksiyon denir. Bu dört özellikten herhangi birine sahip olan fonksiyona monoton fonksiyon denir.

POLİNOMLAR

T7 : a) P(x) = 0 denkleminin herhangi bir çözümüne P polinomunun bir kökü denir.

b) P(x) = 0 polinomu (x-x0) k  ile bölünüp de, (x-x0)k+1 ile bölünmüyorsa ,  x 0  a P nin k katlı kökü        denir.

T8 [Katlı Kök Testi] : x0 ın P(x) polinomunun k katlı kökü olması için gerek ve yeter koşul

P(x0)=P’(x0)=P’’(x0)= ……=  P  k-1 (x0)=0 ve P k (x0) ≠0 olmasıdır.

T9 [Bezout] : P(x) polinomunun (x-x0) ile bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul P(x0)=0 olmasıdır.

T10 [ Cebirin Temel Teoremi] : Derecesi n>0 olan her

P(x)=an x n + a n-1 x n-1 + ….+ a1 x + a0, an≠ 0 polinomunun n tane (kompleks) kökü vardır.

Bu teormemin sonucu olarak eğer x1, x2, x3, …xn (kompleks) sayıları P(x) polinomunun kökleri ise

P(x) = an(x-x1)(x-x2)…(x n) olur.

T11 : Derecesi tek sayı olan reel katsayılı her polinomun en az bir reel kökü vardır.

T12 : P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölünmesi için gerek ve yeter koşul, Q(x) in her bir kökünün P(x) in de kökü olması ve eğer bir x1 sayısı O(x) in q katlı kökü ise, bu x1 sayısının P(x) in p ≥ q katlı kökü olmasıdır.

BAZI ÖNEMLİ ÖZDEŞLİK VE EŞİTSİZLİKLER

T13 : Her reel a, b ve her doğal sayı n için aşağıdaki özdeşlikler sağlanır.

A )  an+1 – bn+1 = (a-b)(an + an-1b + …. ab n-1 + bn )

B)   a2n+1 + b2n+1 = (a+b)(a2n – a2n-1b + …-ab2n-1 + b2n)

C)   a2n – b2n = (a2)n – (b2)n =(an-b n)(an + b n)

T14 [Binom] : Her x, y ϵR ve n ϵ N için kombinasyon C (n   k)= n!/k!(n – k)! , 0 ≤ k ≤ n  olarak tanımlanır.

T15 [Euler] : Her v ϵR ve n ϵ N için

eiv = cosv + i.sinv

T16 [ Bernoulli ] : a, b ϵR\{0} , a > -1 olsun. Bu durumda,

A) 0<b<1 ise (1 + a)b < 1 + ab,

B) b , [0,1] den farklı ise (1 + a)b > 1 + ab

Eşitsizlikleri sağlanır.

T17 : Aritmetik,Geometrik ,harmonik ,kuvvet  ortalamaları.

A)  a1,a2,a3,…an ϵ R sayılarının Aritmetik Ortalaması

AO = (a1 + a2 + a3 + … + an)/n       

B) Poitif a1, a2, a3, …. an ϵ R sayılarının Geometrik Ortalaması

GO=(a1a2a3…an)1/n

C) Pozitif a1, a2, a3,…an ϵ R sayılarının Harmonik Ortalaması

HO= n/(1/a1)+(a/a2)+…+(1/an)

D)  a1,a2,…an ϵ R sayılarının Karesel Ortalaması

KO= ((a12 + a22 +…+an2)/n )1/2

E) Pozitif a1, a2, a3,…an ϵ R sayılarının  d derecesinden Kuvvet Ortalaması

P(d) = ((a1r + a2r + …an r)/n)1/r

Olarak tanımlanır.

T18 : Ortalamalar Arasındaki Eşitsizlikler

(HO) ≤  (GO) ≤  (AO)  ≤ (KO)

Eşitsizlikleri her zaman doğrudur ve eşitlik durumu yalnızca a1=a2=..=an olduğunda mümkündür.

*Ortalamalar arasındaki bu eşitsizlik tanımı birçok eşitsizlik probleminin çözülmesinde oldukça iyi bir silahtır.

T19[Young] :

(1/p) + (1/q) = 1 eşitliğini sağlayan her  p, q > 1 ve her  x, y > 0 için  x p/p + y p/q  ≥ xy  dir.

T20 : a ve b herhangi pozitif sayılar ve c ile d herhangi reel sayılar ise (c+d) /( a + b)  kesiri  c/a ile d/b

kesirleri arasında bulunur.

T21 [ Euler Sasyısı] :

  e≈2, 71828182845…=lim n -> ∞ (1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …+1/n!)=lim(1+1/n)n

Reklamlar

The URI to TrackBack this entry is: https://aritmetik.wordpress.com/2011/05/10/analiz-ve-cebir-icin-bazi-on-bilgiler/trackback/

RSS feed for comments on this post.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s

%d blogcu bunu beğendi: