Çözümlü Sorular II

S1]  21 + 1, 22 + 1, 24 +1, 28 + 1, .. , 2f+1 dizisinden yararlanarak sonsuz çoklukta asal sayı olduğunu gösteriniz.

 

        Ç1] Her  k ≥0 için F n = 2n+1 ,n=2k olarak tanımlarsak, her k≥2 için F0.F1.…Fk-1+2=Fk ‘dır.

Buradan her t≠k için Ft ile Fk aralarında asaldır. Eğer asal sayılar sonlu olsa ve bunların sayısı s olsaydı  F s+1 = 2a+1 ,a=2s+1  için en az bir k≤s için Fn ile Fs+1 aralarında asal olmazdı. O halde asal sayılar sonsuz sayıdadır.

S2] Her n>2 , n ϵ N için (n!)2 > nn olduğunu kanıtlayınız.

Ç2] (n!)2= n!.n!=(1.2.3…n)(n.(n-1)….3.2.1)=(1.n)(2.(n-1))…(s.(n-s+1))nn(n.1) ‘dir.

Her s, 2 ≤ s <n için  s(n-s+1)=(n-s)(s-1)+n >n olduğundan, (n!)2 > nn olur.

Published in: on Mayıs 10, 2011 at 1:47 pm  Yorum Yapın  
Tags: , ,

Çözümlü Sorular I

S1] a,b asal tek sayılar  a≠b ve k,n sayıları kusursuz çift sayılar olmak üzere a+b=k , a-b=n olacak şekilde a,b sayıları var ise  n=6  tek çözümdür.

Kanıt : a+b=k , a-b=n ise, alt alta toplarsak ,a=(k/2) + (n/2),  b=(k/2)-(n/2)  olur.

Her çift mükemmel sayı 2 p-1 (2p-1) şeklindedir. a asal tek sayı olduğundan,k/2 ve n/2 den birinin tek olması gerekir.Birini almamız yeterlidir. n/2 tek olması için , n/2= 2 m-1(2m-1)/2 olduğundan (2m-1) tek olduğundan , 2 m-1 sayısı tek olmalı ki n/2 de tek olsun. Bu durumda tek çözüm m-1=1  den m=2 içindir.o halde n=21x(22-1)=6 bulunur. Örnek çözüm a=17,b=11,k=28

S2]  P>0 olmak üzere 2p sayısının pozitif bölenlerinin toplamının 2p+1 -1 olduğunu gösteriniz.

Kanıt : Pozitif bölenleri : 2p/2, 2p/4,… 2p/2p, 2p/1 dir .

Bunların toplamı ise T= (2 p-1)+(2 p-2)+….2 p-p)+2p =(2×2p)-1=2 p+1-1 dir.

S3] a=4n+3 tam sayısının an az bir P=4k+3 şeklinde asal böleni vardır.

   Kanıt :4n+3=a bir tek sayı olduğuna göre tüm çarpanları tektir. O halde tüm çarpanları 4s+1 formunda olsa (4s+1)(4t+1)(4m+1)… ne kadar çarpanı olursa olsun  sonuç 4a+1 şeklinde olacağından verilen sayıya eşit olmayacaktır.Bu durumda mutlaka 4n+3 şeklinde bir çarpanı olmalıdır.

S4] a=4n+3 şeklinde sonsuz çoklukta  asal sayı vardır.

   Kanıt : Sonlu olduğunu varsayalım. Tüm bu asalların çarpımı ise p olsun. Şimdi, p ya 4s+1, ya da 4s+3 şeklinde bir bileşiktir. P=4s+1  ise p+2=4s+3 olur. Eğer p=4s+3 ise p+4=4s+7=4k+3 şeklindedir. p+2 ve p+4 sayıları bileşik iseler S3 kanıtında görüldüğü gibi mutlaka bir 4s+3 formunda asal çarpanı olmalıdır ve bu asal p yi bölmez. P+2 ve p+4 sayıları asal iseler zaten 4s+3 formundadır. Bu nedenle önerme doğrudur.

S5] n bir bileşik doğal sayı ise p≤√n olacak biçimde bir p asal çarpanı vardır.

    Kanıt: n=axb, 1<a<n,1<b<n bu durumda ya a≤√n,ya da b ≤√n dir.Aksi halde axb >n olur ki axb=n olmalıdır. Bu nedenle önerme doğrudur.

Takip Et

Her yeni yazı için posta kutunuza gönderim alın.

Diğer 28 takipçiye katılın